計量 (幾何学)

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距離空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/10 20:02 UTC 版)

距離空間（きょりくうかん、metric space）とは、距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。

古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 Fréchet (1906)^{[注釈 1]}において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。

平面 R² の上の 2 点 P₁ = (x₁, y₁), P₂ = (x₂, y₂) の間の距離にもマンハッタン距離

${\displaystyle d_{1}(P_{1},P_{2}):=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$

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初等的な例

離散距離構造

距離空間のもっとも自明な例は任意の集合に対して定義できる離散距離構造と呼ばれるものである。集合X の上の2変数関数

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&(x=y),\\1&(x\neq y)\end{cases}}}$

主要概念

• 開集合 / 閉集合
• 連続性
• 空間
  • コンパクト
  • ハウスドルフ
  • 距離
  • 一様
• ホモトピー
  • ホモトピー群
• 基本群
• 単体複体
• CW複体
• 完全列
• ホモロジー代数
• K理論

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