位相群のホモトピー論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/24 00:52 UTC 版)
位相群はすべての位相群の中でも特別のものだが、それはそれらのホモトピー型の意味でもそうである。基本となるのは、位相群 G が弧状連結な位相空間である分類空間 BG を決定することである（分類空間は、緩やかな仮定の下で位相空間上の主 G-束を分類する）。群 G はホモトピー圏（英語版）において BG のループ空間（英語版）に同型である。これは G のホモトピー型に様々な制約があることを意味する。これら制約の中にはH空間（英語版）の広い文脈で満足されるものもある。 例えば、位相群 G の基本群はアーベル群である（より一般に、G のホモトピー群のホワイトヘッド積（英語版）は零になる）。また、任意の体 k に対するコホモロジー環 H*(G, k) はホップ代数の構造を持つ。ハインツ・ホップ（英語版）とアルマン・ボレルによるホップ代数の構造定理の観点から、これは位相群の取りうるコホモロジー環に強い制約をかけるものになっている。特に、G が弧状連結な位相群でその有理係数コホモロジー環 H*(G, Q) が各次数で有限次元となるならば、この環は Q 上の自由次数付き可換環でなければならない。これはすなわち、偶数次生成元上の多項式環と奇数次生成元上の外積代数との代数のテンソル積である。 特に、連結リー群 G に対し、G の有理係数コホモロジー環は奇数時の生成元上の外積代数である。さらには、連結リー群 G は極大コンパクト部分群（英語版） K を（共軛を除いて一意に）持ち、K の G への包含はホモトピー同値になる。したがって、リー群のホモトピー型を記述することは、コンパクトリー群のそれに帰着される。例えば、SL(2, R) の極大コンパクト部分群は円周群 SO(2) で、その等質空間 SL(2, R)/SO(2) は双曲平面（英語版）に同一視できる。双曲平面は可縮であるから、円周群の SL(2, R) への包含写像はホモトピー同値になる。 最後に、コンパクト連結リー群はキリング（英語版）、カルタン、ヴァイルによって分類がされた。結果として、リー群の取りうるホモトピー型の本質的に完全な記述ができる。例えば、高々三次元のコンパクト連結リー群は、トーラス、二次特殊ユニタリ群 SU(2)（三次元球面 S3 に微分同相）、その剰余群 SU(2)/{±1} ≅ SO(3)（三次元実射影空間（英語版） RP3 に微分同相）の何れかである。
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