位相群のホモトピー論とは? わかりやすく解説

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位相群のホモトピー論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/03/24 00:52 UTC 版)

位相群」の記事における「位相群のホモトピー論」の解説

位相群すべての位相群中でも別のものだが、それはそれらのホモトピー型の意味でもそうである。基本となるのは、位相群 G が弧状連結位相空間である分類空間 BG決定することである(分類空間は、緩やかな仮定の下で位相空間上のG-束分類する)。群 G はホモトピー圏(英語版)において BGループ空間英語版)に同型である。これは G のホモトピー型様々な制約があることを意味する。これら制約中にはH空間英語版)の広い文脈満足されるものもある。 例えば、位相群 G の基本群アーベル群である(より一般に、G のホモトピー群ホワイトヘッド積(英語版)はになる)。また、任意の体 k に対すコホモロジー環 H*(G, k) はホップ代数構造を持つ。ハインツ・ホップ(英語版)とアルマン・ボレルによるホップ代数構造定理観点から、これは位相群取りうるコホモロジー環に強い制約をかけるものになっている。特に、G が弧状連結位相群でその有理係数コホモロジー環 H*(G, Q) が各次数有限次元となるならば、この環は Q 上の自由次数付き可換環なければならない。これはすなわち、偶数生成元上の多項式環奇数生成元上の外積代数との代数のテンソル積である。 特に、連結リー群 G に対し、G の有理係数コホモロジー環奇数時の生成元上の外積代数である。さらには連結リー群 G は極大コンパクト部分群英語版) K を(共軛除いて一意に)持ち、K の G への包含ホモトピー同値になる。したがってリー群ホモトピー型記述することは、コンパクトリー群のそれに帰着される。例えば、SL(2, R) の極大コンパクト部分群円周群 SO(2) で、その等質空間 SL(2, R)/SO(2) は双曲平面英語版)に同一視できる。双曲平面可縮であるから円周群SL(2, R) への包含写像ホモトピー同値になる。 最後にコンパクト連結リー群キリング英語版)、カルタンヴァイルによって分類がされた。結果としてリー群取りうるホモトピー型本質的に完全な記述ができる。例えば、高々三次元のコンパクト連結リー群は、トーラス二次特殊ユニタリ群 SU(2)三次元球面 S3微分同相)、その剰余群 SU(2)/{±1} ≅ SO(3)三次元実射空間英語版RP3微分同相)の何れかである。

※この「位相群のホモトピー論」の解説は、「位相群」の解説の一部です。
「位相群のホモトピー論」を含む「位相群」の記事については、「位相群」の概要を参照ください。

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