位相群上の一様構造の擬距離による特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「位相群上の一様構造の擬距離による特徴づけ」の解説
位相群G上の左一様構造 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} および右一様構造 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は以下のようにも特徴づけられる： 定理 ― 上と同様に記号を定義するとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は左不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する。同様に R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は右不変な擬距離全体の集合が定める一様構造と一致する。 上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。 定理 (Birkhoff-Kakutani-Minkowskiの定理) ― ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} を R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の位相ベクトル空間とする。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} がセミノルムの族から定まる必要十分条件は、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} が局所凸である事である。 位相ベクトル空間 ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} の位相 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} がセミノルムから定まっていれば、 ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。
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