レピュニット
(レピュニットの素因数分解 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/06/21 05:28 UTC 版)
レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した[注釈 1]。
10進法における n 桁のレピュニットは
1と0だけで表す例
n | (10n/2 − 1) / 9 | [7] | 10n/2 + 1 |
---|---|---|---|
R 2 | 1 | 1 × 11 | 11 |
R 4 | 11 | 11 × 101 | 101 |
R | 63・37 | 111 × 1001 | 7・11・13 |
R | 811・101 | 1111 × 10001 | 73・137 |
R10 | 41・271 | 11111 × 100001 | 11・9091 |
n | |||
---|---|---|---|
R 2 | 1 × 11 | 1 × 11 | |
R 3 | # | 1 × 111 | |
R 4 | $ | 1 × 1111 | 11 × 101 |
R | 5% | 1 × 11111 | |
R | 6& | 1 × 111111 | 111 × 1001 |
# | 11 × 10101 | ||
R | 7* | 1 × 1111111 | |
R | 8$ | 11 × 1010101 | 1111 × 10001 |
R | 9# | 111 × 1001001 | |
R10 | % | 11 × 101010101 | 11111 × 100001 |
R12 | & | 11 × 10101010101 | 111111 × 1000001 |
$ | 111 × 1001001001 | ||
# | 1111 × 100010001 | ||
R14 | * | 11 × 1010101010101 | 1111111 × 10000001 |
n | ||
---|---|---|
R | 61 × 111 × 1001 | 91・11 |
R12 | 11 × 10101 × 1000001 | 9901・101 |
R18 | 111 × 1001001 × 1000000001 | 999001・1001 |
R24 | 1111 × 100010001 × 1000000000001 | 99990001・10001 |
n | ||
---|---|---|
R 4 | 11 × 101 | |
R | 8101 × 110011 | |
R12 | 1001 × 111000111 | 1221001221 × 91 |
R16 | 10001 × 111100001111 | |
R20 | 100001 × 111110000011111 | 1222210000122221 × 9091 |
R24 | 1000001 × 111111000000111111 | 1221001221001221001221 × 91 |
累乗数 − 累乗数
n | Rn×(10n+1) | |||
---|---|---|---|---|
[9][10][11] | ||||
R 2 | 62 − 52 | 62 − 52 | 62 − 52 | |
R 3 | 562 − 552 | 562 − 552 | ||
R 4 | 562 − 452 | 5562 − 5552 | ||
R | 555562 − 55552 | |||
R | 65562 − 4452 | 555562 − 555552 | 50562 − 50452 | 6562 − 5652 |
R | 75555562 − 5555552 | |||
R | 855562 − 44452 | (省略) | ||
R 9 | (省略) | 5005562 − 5004452 | ||
R10 | (省略) | (省略) | 656562 − 565652 | |
R11 | (省略) | |||
R12 | (省略) | (省略) | 500055562 − 500044452 | |
R13 | (省略) | |||
R14 | (省略) | (省略) | 65656562 − 56565652 |
レピュニット素数
現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した[12]。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した[13]。
2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[15][リンク切れ]。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した[16]。
2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。
2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。
No. | n | 年[要出典] | 発見者 | 素数判定 |
---|---|---|---|---|
1 | 2 | BC 478 | - | 素数 |
2 | 19 | 1908-06-27 | - | 素数 |
3 | 23 | 1933-01-23 | - | 素数 |
4 | 317 | 1978-05-16 | ヒュー・ウィリアムズ | 素数 |
5 | 1031 | 1986-10-05 | ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー | 素数 |
6 | 49081 | 1999-09-09 | ハーヴェイ・ダブナー | 素数 |
7 | 86453 | 2000-10-26 | リュー・バクスター | 素数 |
8 | 109297 | 2007-03-26 | ハーヴェイ・ダブナー | 素数 |
9 | 270343 | 2007-07-11 | マクシム・ヴォズニー | 確率的素数 |
10 | 5794777 | 2021-04-19 | セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー | 確率的素数 |
11 | 8177207 | 2021-05-08 | セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー | 確率的素数 |
(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)
レピュニットの素因数分解
レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている[19]。
基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[20]。
n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。
※ 素因数の数(含重複)
2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。
一般化
10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは と定義される。
前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1 の約数の和に一致する。
基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[21])。
Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、
と表すことができる。
脚注
注釈
出典
- ^ Beiler 1964, p. 83.
- ^ Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.
- ^ 电算游戏(六)“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
- ^ 电算游戏(六)之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
- ^ 1111…1という数(レピュニット)の素因数分解を納得する - アジマティクス
- ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
- ^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
- ^ World!Of Numbers
- ^ Number Theory の話題(Repunit Number と Zsigmondy's Theorem)
- ^ nombre - onze en maths
- ^ persistance et repdigits
- ^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
- ^ Prime pages: R(86453)
- ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
- ^ “Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
- ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
- ^ “New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月19日). 2022年3月29日閲覧。
- ^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
- ^ 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
- ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
- ^ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.
参考文献
- Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
- Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
- Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
- Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
- Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8
関連項目
- 一進法
- 回文数
- メルセンヌ数
- ゴールマハティヒ予想
- レピュニット (小惑星) - 小惑星番号が11111であることから命名。
- 37 - 111を3で割った値。
- 259 - 111111を429で割った値。
- 12345679 - 111111111を9で割った値。
外部リンク
- 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
- 11...11 (レピュニット) の素因数分解(n = 20万までの一覧)
- Factorizations of Repunit Numbers (n = 14980までの一覧)
- 纯元数的实验与探究
- collection de nombres, rep-unit
- Weisstein, Eric W. "Repunit". mathworld.wolfram.com (英語).
- レピュニットのページへのリンク