レピュニットとは? わかりやすく解説

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レピュニット

(レピュニットの素因数分解 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/06/21 05:28 UTC 版)

レピュニット (レピュニット数レプユニット数単位反復数: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した[注釈 1]

10進法における n 桁のレピュニットは

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1と0だけで表す例

n (10n/2 − 1) / 9 [7] 10n/2 + 1
R02 1 1 × 11 11
R04 11 11 × 101 101
R06 3・37 111 × 1001 7・11・13
R08 11・101 1111 × 10001 73・137
R10 41・271 11111 × 100001 11・9091
n
R02 0001 × 11 1 × 11
R03 # 0001 × 111
R04 $ 0001 × 1111 11 × 101
R05 % 0001 × 11111
R06 & 0001 × 111111 111 × 1001
# 0011 × 10101
R07 * 0001 × 1111111
R08 $ 0011 × 1010101 1111 × 10001
R09 # 0111 × 1001001
R10 % 0011 × 101010101 11111 × 100001
R12 & 0011 × 10101010101 111111 × 1000001
$ 0111 × 1001001001
# 1111 × 100010001
R14 * 0011 × 1010101010101 1111111 × 10000001
n
R06 1 × 111 × 1001 91・11
R12 11 × 10101 × 1000001 9901・101
R18 111 × 1001001 × 1000000001 999001・1001
R24 1111 × 100010001 × 1000000000001 99990001・10001
n
R04 11 × 101
R08 101 × 110011
R12 1001 × 111000111 1221001221 × 91
R16 10001 × 111100001111
R20 100001 × 111110000011111 1222210000122221 × 9091
R24 1000001 × 111111000000111111 1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

[8]

n Rn×(10n+1)
[9][10][11]
R02 6252 6252 6252
R03 562 − 552 562552
R04 562 − 452 5562 − 5552
R05 55562 − 55552
R06 5562 − 4452 555562 − 555552 5056250452 6562 − 5652
R07 5555562 − 5555552
R08 55562 − 44452 0G(省略)
R09 0F(省略) 50055625004452
R10 0E(省略) 0E(省略) 656562 − 565652
R11 0D(省略)
R12 0C(省略) 0C(省略) 500055562500044452
R13 0B(省略)
R14 0C(省略) 0A(省略) 65656562 − 56565652

レピュニット素数

現在、Rnn = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した[12]。2023年5月に素数であることが証明された R86453 は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した[13]

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している[15][リンク切れ]。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した[16]

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

Rn = (10n − 1) / 9
No. n [要出典] 発見者 素数判定
1 2 BC 478 - 素数
2 19 1908-06-27 - 素数
3 23 1933-01-23 - 素数
4 317 1978-05-16 ヒュー・ウィリアムズ 素数
5 1031 1986-10-05 ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー 素数
6 49081 1999-09-09 ハーヴェイ・ダブナー 素数
7 86453 2000-10-26 リュー・バクスター 素数
8 109297 2007-03-26 ハーヴェイ・ダブナー 素数
9 270343 2007-07-11 マクシム・ヴォズニー 確率的素数
10 5794777 2021-04-19 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数
11 8177207 2021-05-08 セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー 確率的素数

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、25を除く素数の積で構成されている[19]

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す[20]

n素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an−1約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない(Bugeaud 1999b[21])。

Fd(x) を d 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注

注釈

  1. ^ アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している:
    A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.
    A. H. Beiler、1964[1]

出典

  1. ^ Beiler 1964, p. 83.
  2. ^ Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417. 
  3. ^ 电算游戏(六)“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
  4. ^ 电算游戏(六)之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
  5. ^ 1111…1という数(レピュニット)の素因数分解を納得する - アジマティクス
  6. ^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
  7. ^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
  8. ^ World!Of Numbers
  9. ^ Number Theory の話題(Repunit Number と Zsigmondy's Theorem)
  10. ^ nombre - onze en maths
  11. ^ persistance et repdigits
  12. ^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
  13. ^ Prime pages: R(86453)
  14. ^ Harvey Dubner, R109297 に関するアナウンス、Number Theory List
  15. ^ Yahoo! Groups” (英語). groups.yahoo.com. 2018年4月6日閲覧。
  16. ^ Maksym Voznyy, R270343 に関するアナウンス、Number Theory List
  17. ^ New repunit (PRP) primes found”. MersenneForum (2021年4月19日). 2022年3月29日閲覧。
  18. ^ It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
  19. ^ レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
  20. ^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
  21. ^ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

参考文献

関連項目

外部リンク





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