Cuban素数とは？わかりやすく解説

立方体の中に、 $n^{3}$ 個の半透明な玉を配置する様子。対角線に着目すると2つの連続する立方数の差が中心つき六角数であることが色覚的にわかる。

Cuban素数(英:Cuban prime)とは、素数の中で、連続する2つの整数の立方数の差で表すことのできる素数のことである。もしくは、差が2である2つの整数の立方数の差を2で割ったものが素数である数のことである。前者を第一形式という意味でCuban素数-1、後者を第二形式という意味でCuban素数-2ということがある。

第一形式

Cuban素数の第一形式を一般化すると以下のようになる。

p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+1,\ y>0,

つまり、連続する整数の立方の差である。この式から得られるCuban素数は小さい順に、

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227( オンライン整数列大辞典の数列 A002407)

となる。

第一形式のCuban素数の公式は、 $3y^{2}+3y+1$ と簡略化できる。これは中心つき六角数の一般型と同じである。つまり、Cuban素数の第一形式は中心つき六角数である。

2023年現在^[update]で知られている最大の、Cuban素数の第一形式は3,153,105桁の $y=3^{3304301}-1$ である^[1]。

第二形式

Cuban素数の第二形式の一般型は

p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+2,\ y>0.

である。

第一形式と同じように、第二形式は $3y^{2}+6y+4$ と簡略化できる。また、 $y=n-1$ と置いたことにより $3n^{2}+1,\ n>1$ と表すこともできる。

Cuban素数の第二形式は小さい順に、

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313 (オンライン整数列大辞典の数列 A002648)

である、

Cuban素数という名前は、立方(3乗)の英語表記"cubes"に由来する^[2]。

出典

^ Caldwell, Prime Pages
^ Caldwell. “cuban prime”. PrimePages. University of Tennessee at Martin. 2022年10月6日閲覧。

参考文献

Caldwell, Dr. Chris K., ed., “The Prime Database: 3^4043119 + 3^2021560 + 1”, Prime Pages (University of Tennessee at Martin) 2023年7月31日閲覧。
Phil Carmody, Eric W. Weisstein and Ed Pegg, Jr. "Cuban Prime". MathWorld.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Cunningham, A. J. C. (1923), Binomial Factorisations, London: F. Hodgson, ASIN B000865B7S
Cunningham, A. J. C. (1912), “On Quasi-Mersennian Numbers”, Messenger of Mathematics (England: Macmillan and Co.) 41: 119–146

[1] Caldwell, Prime Pages

[2] Caldwell. “cuban prime”. PrimePages. University of Tennessee at Martin. 2022年10月6日閲覧。

[1]

[2]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

Cuban素数とは？ わかりやすく解説

Cuban素数

第一形式

第二形式

関連項目

出典

参考文献

急上昇のことば

Cuban素数とは？わかりやすく解説