フランク＝タム公式の導出

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フランク＝タム公式の導出

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/31 07:52 UTC 版)

「フランク＝タムの公式」の記事における「フランク＝タム公式の導出」の解説

荷電粒子が相対論的に媒質中を等速度で移動する場合を考える。ガウス単位系でのマクスウェル方程式を考え、ポテンシャルをモード展開すると { k 2 − ω 2 c 2 ϵ ( ω ) } Φ ( k → , ω ) = 4 π ε ( ω ) ρ ( k → , ω ) { k 2 − ω 2 c 2 ϵ ( ω ) } A → ( k → , ω ) = 4 π c J → ( k → , ω ) となる。電荷の移動速度を v とし、電荷および電流は密度として ρ ( x → , t ) = z e δ ( x → − v → t ) J → ( x → , t ) = v → ρ ( x → , t ) をフーリエ変換することで ρ ( k → , ω ) = z e 2 π δ ( ω − k → ⋅ v → ) J → ( k → , ω ) = v → ρ ( k → , ω ) のように表現できる。この電荷密度および電流密度を代入し、方程式を解くことで Φ ( k → , ω ) = 2 z e ε ( ω ) δ ( ω − k → ⋅ v → ) k 2 − ω 2 c 2 ϵ ( ω ) A → ( k → , ω ) = ε ( ω ) v → c Φ ( k → , ω ) が得られる。電磁場とポテンシャルの関係式を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると E → ( k → , ω ) = i { ω ε ( ω ) c v → c − k → } Φ ( k → , ω ) B → ( k → , ω ) = i ε ( ω ) k → × v → c Φ ( k → , ω ) が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡から b だけ離れた点 (0, b, 0) での電場を求めたい。ここでの b はインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため E → ( ω ) = 1 ( 2 π ) 3 / 2 ∫ d 3 k E → ( k → , ω ) e i b k 2 を導入する。まず、荷電粒子の運動方向の成分について計算する。 E 1 ( ω ) = 2 i z e ε ( ω ) ( 2 π ) 3 / 2 ∫ d 3 k e i b k 2 { ω ε ( ω ) v c 2 − k 1 } δ ( ω − v k 1 ) k 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) 簡単のため λ 2 = ω 2 v 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) = ω 2 v 2 { 1 − β 2 ε ( ω ) } を定義する。積分を k1, k2, k3 に分ける。k1 積分はデルタ関数の定義によってただちに E 1 ( ω ) = 2 i z e ω v 2 ( 2 π ) 3 / 2 { 1 ε ( ω ) − β 2 } ∫ − ∞ ∞ d k 2 e i b k 2 ∫ − ∞ ∞ d k 3 k 2 2 + k 3 2 + λ 2 となる。k3 積分は π/(λ2 + k 22 )1/2 となるため、 E 1 ( ω ) = − i z e ω v 2 2 π { 1 ε ( ω ) − β 2 } ∫ − ∞ ∞ d k 2 e i b k 2 ( λ 2 + k 2 2 ) 1 / 2 となる。最後の積分の結果はベッセル関数により E 1 ( ω ) = − i z e ω v 2 ( 2 π ) 1 / 2 { 1 ε ( ω ) − β 2 } K 0 ( λ b ) と与えられる。他の電場成分も同様な計算によってできる。それらの結果を書くと以下のようになる。 E 2 ( ω ) = z e v ( 2 π ) 1 / 2 λ ε ( ω ) K 1 ( λ b ) B 3 ( ω ) = ε ( ω ) β E 2 ( ω ) これによりエネルギー損失を求めることが可能となる。荷電粒子の経路のまわりの半径 a の円筒を通るエネルギーの流れを考えると、エネルギー保存則を考えることで ( d E d x ) b > a = 1 v d E d t = − c 4 π v ∫ − ∞ ∞ 2 π a B 3 E 1 d x と表現できる。ある時刻で x について積分すると、ある点で全時刻にわたる積分をするのと等しい。実際 dx = vdt であり、 ( d E d x ) b > a = − c a 2 ∫ − ∞ ∞ B 3 ( t ) E 1 ( t ) d t となる。これを周波数の積分に改めることで ( d E d x ) b > a = − c a ∗ Re ( ∫ 0 ∞ B 3 ∗ ( ω ) E 1 ( ω ) d ω ) となり、周波数の積分にすることで、原子半径に比べて十分長い波長の放射のみを考えることができる。つまり、|λa| ≫ 1 という仮定によりベッセル関数を漸近的に E 1 ( ω ) → i z e ω c 2 ( 2 π ) 1 / 2 { 1 − 1 β 2 ε ( ω ) } e − λ b λ b E 2 ( ω ) → z e v λ b e − λ b B 3 ( ω ) = ε ( ω ) β E 2 ( ω ) と求めることができ、結果として ( d E d x ) r a d = Re ( ∫ 0 ∞ z 2 e 2 c 2 ( − i λ ∗ λ ) ω ( 1 − 1 β 2 ε ( ω ) ) e − ( λ + λ ∗ ) a d ω ) が得られる。全周波数積分の実部を考える。λ が正の実部を持てば、指数関数は大きな b で急速に0になる。つまり、エネルギーは軌跡のまわりにのみ存在するが、純虚数の λ では指数関数は1になってしまい、エネルギーは軌跡から離れたところへ散逸することを示している。これがチェレンコフ放射である。λ が純虚数であることは ε(ω) が実であり、β2ε(ω) > 1 を満たすことに相当する。これが、チェレンコフ放射の条件 v > c/√ε(ω) に対応する。純虚数の条件は √λ*/λ = i となるため、積分はさらに ( d E d x ) r a d = z 2 e 2 c 2 ∫ ε ( ω ) > 1 β 2 ω { 1 − 1 β 2 ε ( ω ) } d ω と簡略される。これがガウス単位での表示によるフランク＝タム公式である。この導出はジャクソン第3版に基づく。