ピアソンの積率相関係数

統計学用語辞典

ピアソンの積率相関係数

例題：
　「表 1 において，変数 X と変数 Y の間のピアソンの積率相関係数を求めなさい。」

表 1．二変数データ

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
変数 Xi	2.8	3.4	3.6	5.8	7.0	9.5	10.2	12.3	13.2	13.4
変数 Yi	0.6	3.0	0.4	1.5	15.0	13.4	7.6	19.8	18.3	18.9

計算手順：

1. 2 変数 X，Y が n 組あるとする。
   
2. ピアソンの積率相関係数 r は，「変数 X と変数 Y の共分散」と「それぞれの変数の標準偏差」から求められる。
   
   例題では，共分散 Cov.XY = 30.04222222，変数 X の標準偏差 S.D.X = 4.150448436，変数 Y の標準偏差 S.D.Y = 8.082938135 より，r = 0.895504509 となる。
   
   • 相関係数が正の場合「二変数には正の相関関係がある」という（正相関）
   • 相関係数が負の場合「二変数には負の相関関係がある」という（負相関）
   • 相関係数が０に近いとき「二変数は無相関である」という
   
   相関係数の大きさと散布図の関係のアニメーション表示，または，ムービー

注：

• どちらか一方（または両方）の変数の分散が 0 のとき（すなわち全てのケースが同一の値をとる場合）には，相関係数は定義できない。
  
• 相関係数の解釈は表 2 のように行う。母相関係数 = 0 の検定結果と，変数間の相関が実質的に意味があるかどうかは無関係である。
  

  表 2．相関係数の解釈

  相関係数の絶対値	解釈
  0.0〜0.2	ほとんど相関関係がない
  0.2〜0.4	やや相関関係がある
  0.4〜0.7	かなり相関関係がある
  0.7〜1.0	強い相関関係がある

  
  
• いくつかの飛離れた値（＊1）が存在する場合には，それらの値に引きずられて，不当に高い相関係数が得られる。このような場合には順位相関係数を使用したほうがよい。
  ＊1：このようなデータは測定の誤り，誤記，誤入力等による場合と，実際にそのような値が存在する場合がある。多くの場合，異常値と呼ばれるが，外れ値と呼ぶ方が適切な場合もある。
  
• 曲線相関の場合には順位相関係数を使用したほうがよい。極端な場合であるが，Y = X² の関係がある場合に，順位相関係数は 1 になるが，ピアソンの積率相関係数は 1 にはならない。
  
• 散布図において，観測データが直線的な増減傾向を示しているときには，これらの点の近くを通る直線（回帰直線）を求めることがある（重回帰分析，直線回帰も参照のこと）。
  回帰直線の傾き a と切片 b は，次式で求めることができる。
  　　
  　　
  

  図 1．変数 X を用いて変数 Y を予測する回帰直線

独立変数が X という値をとるとき，予測値 の期待値 μ の (1-α)100% 信頼限界は， 自由度が ν= n - 2 の t 分布において，上側確率が α/2 になる値を tα/2,ν，誤差分散を Ve としたとき，以下のように求めることができる。
　　　……　下限値
　　　……　上限値
ちなみに，Ve は回帰の分散分析において「残差平均平方」のことである。
　　
母集団に属する新たな成員 X に対する予測値の信頼区間は，以下のようになる。
　　　……　下限値
　　　……　上限値