直線回帰(単回帰)
直線回帰は重回帰分析の最も単純な場合である。
例題:
「表 1 において,変数 X を用いて,変数 Y を予測する直線回帰式を求めなさい。」
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
変数 Xi | 2.8 | 3.4 | 3.6 | 5.8 | 7.0 | 9.5 | 10.2 | 12.3 | 13.2 | 13.4 |
変数 Yi | 0.6 | 3.0 | 0.4 | 1.5 | 15.0 | 13.4 | 7.6 | 19.8 | 18.3 | 18.9 |
計算手順:
- 2 変数 X,Y の観察値が n 組あるとする。
例題では,n = 10,( X1 ,Y1 ) = ( 2.8, 0.6 ),... ,( X10 ,Y10 ) = ( 13.4, 18.9 )
- 直線の傾き a と切片 b は,次式で求めることができる。
例題では,以下のように計算を進める。- まず最初に,変数 X と変数 Y の平均値 と を求める。
= ( 2.8 + 3.4 + … + 13.4 ) / 10 = 81.2 / 10 = 8.12
= ( 0.6 + 3.0 + … + 18.9 ) / 10 = 98.5 / 10 = 9.85
- 次に,a の計算式の分子になる「変数 X と変数 Y の共変動」を求める。
変数 X と変数 Y の共変動 = { ( 2.8 - 8.12) × ( 0.6 - 9.85 ) + … + ( 13.4 - 8.12) × ( 18.9 - 9.85 ) } = 270.38
- 次に,a の計算式の分母になる「変数 X の変動」を求める。
変数 X の変動 = { ( 2.8 - 8.12)2 + … + ( 13.4 - 8.12)2 } = 155.036
- 以上から,a = 270.38 / 155.036 ≒ 1.744 を得る。
- また,b = 9.85 - 1.744 × 8.12 ≒ -4.311 を得る。
- よって,求める直線回帰式は
= 1.744 X - 4.311 である。
図で示すと以下の通り。
図 1.直線回帰式
- まず最初に,変数 X と変数 Y の平均値 と を求める。
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