小数 小数の概要

小数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/07/06 03:25 UTC 版)

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概要

0 超過 1 未満の数を、分数を使わずに表現する方法の一つ。1 を基数 N で P 回割った数の桁を、小数第 P 位として表現する。

例えば、十進法で 1425 の百分の一に相当する数は、小数と小数点ピリオドまたはコンマ)を用いて、

14 . 25
整数部 小数点 小数部

または、

14 , 25
整数部 小数点 小数部

のように表現する(なお、日本では、小数点として、ピリオドを用いることがほとんどである)。小数点より左を整数部(分)と呼んで、右から一の位、十の位の数を記述する。小数点より右は小数部(分)と呼んで、1 より小さい位として、左から十分の一の位、百分の一の位の数を順に記述する。上に挙げた数の場合には、十の位は「1」、一の位は「4」、十分の一の位は「2」、百分の一の位は「5」となる。より小さい数を表現する場合には、この後に「千分の一の位」や「一万分の一の位」と順に位を増やすことで対応することができる。

小数部分の位は、小数第一位は「十分の一の位」、小数第二位は「百分の一の位」となるが、単に「小数第一位」「小数第二位」というように序数で呼ぶ例も多い。「小数点以下第 P 位」と呼ぶこともあるが、この場合の「以下」は小数点自体は含まずに数えることになっているので、「小数第 P 位」と同じである。10進数以外の他の進数の表記においても同様である。

使用例

以下に使用例を挙げる。小数は長さ重さといった細分できる量を表現したり、割合平均を表現するのにも用いる。

細分できる量
  • 五円硬貨の厚さは 1.5 ミリメートル、重さは 3.75 グラム。
割合平均

小数部の区切り

物理学や工学の分野では、桁の数が多い場合の読取りを容易にするため、小数部の桁数が4以上の場合は、3桁ごとに半スペース(en:thin space)で区切ることになっている[1]。ただし、小数部の桁数が4の場合は、3桁と1桁とに分けないのが普通である。

  • 38.20736547→38.20736547(3桁ごとにハーフスペースを挿入する)
  • 6.9578→6.9578(スペースを挿入しない)

ただし、製図や財務文書においては、桁を分けるのにスペースを用いないのが普通である[2]

小数の分類

有限小数

ここまでに例に挙げた小数は、円周率を除いて、みな有限桁の数字で表現されている。このような小数は有限小数と呼ぶ。一般には分数が有限小数になる条件は、記数法の底(基数)と分母の素因数との関係で記述できる。既約分数 a/bk 進法で有限小数となるための必要充分条件は rad(b)|rad(k) となる。即ち b素因数が全て k の素因数にもなっていることである。

  • 例.10進数においては基数10が 2 × 5 で表せることより 除数 b が 2i × 5j (i , j ≧ 0) の数においては有限小数になる。他の進数においてもその進数の基数の数により有限小数になる数が定まる。

無限小数

有限小数では正確に表現できない数(正確には、実数)が存在する。そのような数を、無限桁の小数で表現したものを無限小数と呼ぶ。上に挙げた例では円周率は無限小数でなければ表現できないが、逆に無限小数を用いることによってどんな実数をも表現することができるようになる。

循環小数

1/3 = 0.3333… や 1/7 = 0.142857142857… など、無限小数のうち、同じ数字列が無限に繰り返される小数を循環小数と呼ぶ。循環小数は繰り返す部分を指定することで表記する。

正式な記法は

0.142857142857… = 0.·14285·7

のように、繰り返す部分の始めと終わりにドットを書く。小数第二位以降から繰り返しが始まる場合も

0.1252525… = 0.1·2·5

のように同様に書く。 一つの数字が繰り返される場合は

0.333… = 0.·3
0.1444… = 0.1·4

のようにドットを一つ書く。

この百科事典においては、メディアの制約により

0.{2497} または 0.2497
0.1{25} または 0.125
0.{3} または 0.3
0.1{4} または 0.14

と書く場合もある。

有限小数または循環小数で表される数は、数学的な分類としては有理数となる。

有限小数を循環小数と見なすこともできる。例えば、1/8 = 0.125 = 0.125000… = 0.124999… のように、0 や 9 を無限に繰り返しているといえるからである。この場合 0 の繰り返しは特に明記する必要はなく、単に「0.125」としてよい。より詳しい性質に関しては「循環小数」を参照のこと。

非循環小数

循環しない無限小数を非循環小数と呼ぶ。数学的な分類としては無理数と等価である。

このような小数は簡単に作ることができて

0.101001000100001…

は非循環小数である。

進んだ注意

殆どの場合に異なる無限小数表示は異なる実数を与えるが、

1/10 = 0.1 = 0.0999...
273/1000 = 0.273 = 0.272999...

のように、途中から全ての桁に「10 - 1」にあたる数字が並び続けるような表示は、「10 - 1」の並びが始まる直前の数字を1つ増やして、後は0を続けたものと同じ実数を与える。これについては「0.999...」の項目が詳しい。

小数は、実数整数 a0 と 0 から 9 までのどれかにあたる an (n ≥ 1) を用いて

のような無限級数の形で表すことであるから、すべての an が一致しなくても極限が一致することはありうるのである。しかし、あるところから先にすべて 0 が続くことがないように循環小数として表せば表現は一意的になる。このためいくつかの場合には(たとえばカントールの対角線論法)、全てを循環小数として表現することが必要になる。

その他の分類

整数部が0である小数を純小数または真小数、それ以外を帯小数と呼ぶことがある。


  1. ^ Guide for the Use of the International System of Units (SI)

    10.5.3 Grouping digits
    Because the comma is widely used as the decimal marker outside the United States, it should not be used to separate digits into groups of three. Instead, digits should be separated into groups of three, counting from the decimal marker towards the left and right, by the use of a thin, fixed space. However, this practice is not usually followed for numbers having only four digits on either side of the decimal marker except when uniformity in a table is desired.

  2. ^ Guide for the Use of the International System of Units (SI)

    10.5.3 Grouping digits
    Note: The practice of using a space to group digits is not usually followed in certain specialized applications, such as engineering drawings and financial statements.



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