かんぜん‐すう〔クワンゼン‐〕【完全数】
完全数
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完全数（かんぜんすう、英: perfect number）とは、自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の4個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)、8128 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064) である。
注釈
出典
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完全数
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Mp = 2p − 1 が素数ならば、2p−1(2p − 1) は完全数である。この定理はすでに紀元前3世紀頃のユークリッド原論で証明されていた。したがって、完全数の探索はメルセンヌ素数の探索に終始された。 2p−1(2p − 1) は明らかに偶数であるが、偶数の完全数でこの生成式から得られるもの以外はないのか2000年間にわたって未解決であったが、18世紀にオイラーによりこの形に限ることが証明された。
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完全数
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完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, … 偶数の完全数はメルセンヌ数と深い関係がある。知られている完全数は全て偶数であり、奇数の完全数はないと予想されている。また、無限に存在するとも予想しているが、両者とも未解決である。類似の概念に、友愛数、社交数などがある。
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