原始擬似完全数

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擬似完全数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/15 05:16 UTC 版)

擬似完全数（ぎじかんぜんすう、英: semiperfect number, pseudoperfect number）とは、自分自身を除くいくつかの約数の総和が元の数に等しい自然数のことである。

概要

例えば、40 の約数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 のうち 1, 4, 5, 10, 20 の5つを選ぶと、それらの和は 1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40 と元の数に等しいので 40 は擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。

擬似完全数を小さい順に列記すると

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

となる^[1]。

奇数の擬似完全数のうち最も小さい数は 945 である。擬似完全数の倍数は全て擬似完全数であり、したがって偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在する。

n を自然数、p を p < 2ⁿ⁺¹ を満たす奇素数として、2ⁿp の形で表される数は全て擬似完全数である。

擬似完全数は全て完全数もしくは過剰数であり、特に全ての完全数は擬似完全数でもある。しかし過剰数であっても擬似完全数でない数は無数に存在し、それらは不思議数と呼ばれる。

原始擬似完全数

擬似完全数のうち、その約数に他の擬似完全数を含まない数を原始擬似完全数（げんしぎじかんぜんすう、英: primitive semiperfect number, primitive pseudoperfect number, irreducible semiperfect number, irreducible pseudoperfect number）という。原始擬似完全数は無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。

原始擬似完全数を小さい順に列記すると

6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184, …

となる^[2]。

奇数の原始擬似完全数は無数に存在し、調和数でない原始擬似完全数も無数に存在する。

その他擬似完全数に関すること

• 完全数の約数はすべて不足数である。90 は疑似完全数であるが自身の約数のうち不足数だけを加えて自身になる数である^[3]。
• たとえば、σ(a) - 2a = 1（σ は約数関数）を満たす自然数は疑似完全数と呼ばれる。だが実際に、その解が -1, 0, 1 を満たすような自然数 a が存在するのかどうかは不明であり、現在の数学では分かっていない。

脚注

1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A005835
2. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A006036
3. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A125310

関連項目

• 完全数
• 過剰数
• 不思議数

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Pseudoperfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Primitive Pseudoperfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数

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原始擬似完全数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 07:10 UTC 版)

「擬似完全数」の記事における「原始擬似完全数」の解説

擬似完全数のうち、その約数に他の擬似完全数を含まない数を原始擬似完全数（げんしぎじかんぜんすう、英: primitive semiperfect number, primitive pseudoperfect number, irreducible semiperfect number, irreducible pseudoperfect number）という。原始擬似完全数は無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。 原始擬似完全数を小さい順に列記すると 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184, … となる。 奇数の原始擬似完全数は無数に存在し、調和数でない原始擬似完全数も無数に存在する。