正多角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/05 06:59 UTC 版)
正多角形（せいたかっけい、せいたかくけい、英: regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では断りのない限り n は3以上の自然数とする。
正多角形は線対称であり、正n角形の対称軸は n本である。また、正偶数角形は点対称でもある。
頂点の数が同じ正多角形同士は全て互いに相似である。
ユークリッド幾何学
正多角形の全ての頂点は同一円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。
正n角形の一つの内角の大きさを度数法で表すと
この節の正確性に疑問が呈されています。→詳細は「楕円幾何学」を参照最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。
この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。
双曲幾何学
この節の正確性に疑問が呈されています。→詳細は「双曲幾何学」を参照最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。
脚注
- ^ a b On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass
- ^ 西村保三、山本一海「折り紙による5次方程式の解法 : 3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図」『福井大学教育地域科学部紀要』第3号、福井大学教育地域科学部、2012年、59-66頁、ISSN 2185-369X、NAID 110009552129。
- ^ Lucero, J. C. (2018). “Construction of a regular hendecagon by two-fold origami”. Crux Mathematicorum 44: 207-213.
- ^ 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】 - YouTube
関連項目
族 An Bn I2(p) / Dn E6 / E7 / E8 / E9 / E10 / F4 / G2 Hn 正多角形 正三角形 正方形 p 角形 正六角形 正五角形 一様多面体 正四面体 正八面体 • 立方体 半切立方体 正十二面体 • 正二十面体 一様4次元多胞体 正五胞体 正十六胞体 • 正八胞体 半切正八胞体 正二十四胞体 正百二十胞体 • 正六百胞体 一様5次元多胞体 5次元単体 5次元正軸体 • 5次元立方体 5次元半切立方体 一様6次元多胞体 6次元単体 6次元正軸体 • 6次元立方体 6次元半切立方体 122 • 221 一様7次元多胞体 7次元単体 7次元正軸体 • 7次元立方体 7次元半切立方体 132 • 231 • 321 一様8次元多胞体 8次元単体 8次元正軸体 • 8次元立方体 8次元半切立方体 142 • 241• 421 一様9次元多胞体 9次元単体 9次元正軸体 • 9次元立方体 9次元半切立方体 一様10次元多胞体 10次元単体 10次元正軸体 • 10次元立方体 10次元半切立方体 一様 n-多胞体 n-単体 n-正軸体 • n-立方体 n-半切立方体 1k2 • 2k1 • k21 n-五角多面体 トピック：多胞体の族 • 正多胞体 • 正多胞体と複合体の一覧
正多角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/03 00:15 UTC 版)
1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形 (Regular Tessellation) とも呼ばれる。 正三角形による平面充填 正方形による平面充填 正六角形による平面充填 正三角形、正方形については、図の充填のほかに、頂点をずらした充填も可能である。ただし、隣のタイルの頂点と接する辺を、2辺が内角180°で接していると考えれば、これらは実際は、後述する、一般の四角形、平行六角形による充填の特殊ケースとなる。 1種類の正多角形による（頂点をずらさない）平面充填は、正多角形同様、シュレーフリ記号 {p, q} （正 p 角形が q 個頂点に集まる）で表せる。 正三角形 {3, 6} 正方形 {4, 4} 正六角形 {6, 3} 正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になることから、 ( p − 2 ) q = 2 p {\displaystyle (p-2)q=2p} である。これから、1種類の正多角形による充填がこの3つしか存在しないことが証明できる。
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