伝達関数
構造物のある点からの入力と、ある点の出力の関係を表す関数。伝達関数にはいろいろな表し方があり、力と変位、力と速度、力と加速度のそれぞれの比をとる場合などがある。
応答関数
 | この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。 |
応答関数（おうとうかんすう、英: response function）とは、ある入力が来たときにそれに対応して決まった出力を出すような物理系があるとき、一定の規格を持つ時間の関数である入力に対して出力される時間の関数のことである。また以下に示すインパルス応答関数のことを応答関数と呼ぶ場合もある。電気回路、粘弾性体、誘電体、光学系、制御工学などの分野で用いられる。
例
入力の形に対応していろいろな応答関数があり、分野によって命名もまちまちである。
- インパルス応答関数（余効関数、重み関数）
- デルタ関数型の入力の場合の応答関数。
- 緩和関数
- 一定の大きさの入力が突然入った場合、あるいは突然無くなった場合の応答関数。入った場合の応答関数をステップ応答関数（インディシャル応答）とも呼ぶ。
- 周波数応答関数
- 入力が正弦波の場合の応答関数。複素感受率（複素アドミッタンス）と呼ぶこともある。
- 伝達関数
- 入力が exp(pt) （p は複素数）の場合の応答関数。
線形応答理論
入力と出力の関係が線形性を持つなら、すなわち重ね合わせができるなら、任意の入力に対する出力は応答関数を用いて表すことができる。これを線形応答理論と呼ぶ。
インパルス応答関数 φ(t)がわかっているとき、入力 x(t) に対する出力 y(t) は次の畳み込みで表せる。
ステップ応答関数 ψ(t) の場合は、右辺が
となる。
周波数応答関数を Φ(ω) （一般に複素数）、入力 x のフーリエ変換を X(ω) とすると、出力のフーリエ変換は
となる。
遅延グリーン関数
ある系に対する外力 X(t) に対する影響をとするとき、この系の物理量Bの応答を表す応答関数は、遅延グリーン関数を使って次のように表される
![{\displaystyle G_{A.B}^{r[-]}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b92f29c06b9b5c27c5cd3011bdba40387e3017a)
![{\displaystyle \Phi (t)=-G_{B.A}^{r[-]}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d403a411ea74c92d10a7d24e7c79728401cc8bf6)
参考文献
- 『物理学辞典』培風館、1984年。
伝達関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 07:28 UTC 版)
「状態空間 (制御理論)」の記事における「伝達関数」の解説
連続時不変状態空間モデルの伝達関数は、次のように導出できる。 まず、次の式 x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)} のラプラス変換を求める。 s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)} 次に X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} に着目すると次のように変形できる。 ( s I − A ) X ( s ) = B U ( s ) {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)} X ( s ) = ( s I − A ) − 1 B U ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)} これを使って、出力方程式の X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)} を置き換える。 Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)} であるから、 Y ( s ) = C ( ( s I − A ) − 1 B U ( s ) ) + D U ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C((s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s))+D\mathbf {U} (s)} となる。伝達関数 G ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)} はシステムの出力と入力の比であるから、次のようになる。 G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {Y} (s)/\mathbf {U} (s)} 従って、上で求めた Y ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)} で置き換えれば U ( s ) {\displaystyle \mathbf {U} (s)} が約分され、次の式が得られる。 G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D = C a d j ( s I − A ) d e t ( s I − A ) B + D {\displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D=C{\frac {\mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)}{\mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)}}B+D} 式の中には、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の行列式であり、 a d j ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の余因子行列である。 G ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)} は明らかに q {\displaystyle q} × {\displaystyle \times } p {\displaystyle p} の次元を持ち、全体で q p {\displaystyle qp} 個の要素から成る。従って、個々の入力に対して q {\displaystyle q} 個の伝達関数があり、それぞれが個々の出力に対応している。そのため、複数入力/複数出力システムでは状態空間表現の方が好まれる。 なお、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} は特性多項式と呼ばれる。その多項式の根（固有値）から、システムの伝達関数の極が得られる。それらの極を使って、そのシステムの安定性を解析できる。 G ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s)} の分子にあるゼロも同様に、システムが最小位相かどうかの判定に使うことができる。 ( s I − A ) − 1 {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)^{-1}} を計算するため、下記のアルゴリズムがある。
※この「伝達関数」の解説は、「状態空間 (制御理論)」の解説の一部です。
「伝達関数」を含む「状態空間 (制御理論)」の記事については、「状態空間 (制御理論)」の概要を参照ください。
- 伝達関数のページへのリンク
