3角数とは？わかりやすく解説

三角数（さんかくすう、英: triangular number）とは、多角数の一種で、点を正三角形の形に並べていったときの点の総数のことである。 $n$ 番目の三角数は $1$ から $n$ までの自然数の和に等しい。

定義と例

一辺に $n$ 個の正三角形となるように点を等間隔に並べたときの点の総数は $1$ から $n$ までの自然数の和に等しくなり、

1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).

特に三角数 $10 (= 1 + 2 + 3 + 4)$ はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として大事な数とされた。

T_{n}=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}\quad (n\geqq 1).

三角数の列は次のようになる。

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, \dots

三角数を2倍した数を矩形数（くけいすう）という。矩形数とは、行数（横に延びた列の数）と列数（縦に延びた列の数）の差が $1$ である長方形の形に点を並べていったときの、点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。

$n$ 番目の矩形数は、 $n$ 番目までの正の偶数の総和に等しい： $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}2k=n(n+1)$

自然数の

n

までの立方和は

T n 2

に等しい：

\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}