2次元系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/02 02:42 UTC 版)
微分方程式系 x ˙ = x − y − x ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\dot {x}}=x-y-x(x^{2}+y^{2})} , y ˙ = x + y − y ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\dot {y}}=x+y-y(x^{2}+y^{2})} の方向場。原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円の閉軌道に漸近する。 リミットサイクルが現れる簡単な微分方程式系の例として、 x ˙ = x − y − x ( x 2 + y 2 ) , y ˙ = x + y − y ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=x-y-x(x^{2}+y^{2}),\\{\dot {y}}&=x+y-y(x^{2}+y^{2})\end{aligned}}} という2次元系がある。この系を極座標で表せば、 r ˙ = r ( 1 − r 2 ) , θ ˙ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&=r(1-r^{2}),\\{\dot {\theta }}&=1\end{aligned}}} となり、動径 r と偏角 θ の振る舞いが互いに無関係に決まる単純な形となる。θ(t) の一般解は一定振動数で回転し続ける関数となる。r(t) の一般解は r ( t ) = r 0 r 0 2 + ( 1 − r 0 2 ) e − 2 t {\displaystyle r(t)={\frac {r_{0}}{\sqrt {r_{0}^{2}+(1-r_{0}^{2})e^{-2t}}}}} という関数となる。ここで、r0 は t = 0 における r の値である。よって、r0 ≠ 0 であれば、r(t) は t → ∞ で r → 1 であり、系の原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円に近づいていくこととなる。この結果は、明示的な一般解を必要としない簡易な安定判別によっても得られる。よって、原点を中心とする単位円がこの系の安定なリミットサイクルである。 上記の微分方程式系にパラメータ a を与えた r ˙ = r ( a − r 2 ) , θ ˙ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&=r(a-r^{2}),\\{\dot {\theta }}&=1\end{aligned}}} では、a > 0 であれば、半径 √a の円が上記と同様に安定なリミットサイクルである。しかし a < 0 のときは、全ての軌道は原点に収束する。a = 0 のときも、代数的なオーダーの速さだが全ての軌道は原点に収束する。a > 0 になったときに、原点は不安定となり、原点周囲に安定なリミットサイクルが発生する。よって、この系では a = 0 でホップ分岐が起きている。 上記は解析解を得ることができる例だが、ほとんどの非線形微分方程式系は解析的に解くことはできない。非線形振動現象の代表的な例であり、なおかつ実際の現象に由来する二階非線形微分方程式として、バルタザール・ファン・デル・ポールが三極真空管の発振回路で起こる自励振動を解明するために導いたファン・デル・ポール方程式がある。2次元微分方程式系の形では、ファン・デル・ポール方程式は x ˙ = y , y ˙ = μ ( 1 − x 2 ) y − x {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=y,\\{\dot {y}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}} として表される。ここで μ > 0 がパラメータである。 上記の例と異なり、このファン・デル・ポール方程式の解は初等関数で表すことができない。しかし上記の例と同様に、原点周りにリミットサイクルが存在し、初期値が原点を取る場合を除いて全ての軌道がリミットサイクルに収束する。この証明はポアンカレ写像を構成する手法で行うことができる。あるいは、ファン・デル・ポール方程式はリエナール方程式の1種であることから、リエナールの定理よりファン・デル・ポール方程式系の相平面上には唯一の安定なリミットサイクルが存在することがわかる。 ファン・デル・ポール方程式のリミットサイクルは μ の値によってその形状が変化する。μ が小さいほど、リミットサイクルは円軌道に近づく。μ が大きいほど形状は円から離れていき、μ が大きいほど第1象限と第3象限で背が高くなる。このとき、時系列では弛張振動の様相を示し、緩やかな変化と急な変化の組み合わせから成る振動現象が起きている。
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