リエナールの定理

ウィキペディア

リエナールの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/10 02:12 UTC 版)

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "リエナールの定理" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2023年4月）

力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。

リエナール方程式

次のような微分方程式を、リエナール方程式という。

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$

リエナールの定理

リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、${\displaystyle \left(x,{dx \over dt}\right)}$ 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

1. f(x) と g(x) の微分が連続（C¹級）
2. g(x) が奇関数
3. f(x) が偶関数
4. x > 0 ならば、 g(x) > 0
5. 次のような a が存在する。奇関数 ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}\!f(u)\,du}$ が、
   • ${\displaystyle 0<x<a}$ ならば、${\displaystyle F(x)<0}$
   • ${\displaystyle F(a)=0}$
   • ${\displaystyle x>a}$ ならば、正かつ非減少

リエナール系

リエナール方程式は、

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x\,}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

これをリエナール系と呼ぶ.

関連項目

• アルフレド＝マリー・リエナール（英語版）
• ファン・デル・ポール振動子