渦対のエネルギー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 04:30 UTC 版)
「ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移」の記事における「渦対のエネルギー」の解説
複数の渦が存在する系全体のエネルギーは、 E ∼ − π J ∑ i ≠ j n i n j log | r i − r j a | + π J ( ∑ i n i ) 2 log ( L a ) {\displaystyle E\sim -\pi J\sum _{i\neq j}n_{i}n_{j}\log \left|{\frac {{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}}{a}}\right|+\pi J\left(\sum _{i}n_{i}\right)^{2}\log \left({\frac {L}{a}}\right)} となる。ここで、niはi番目の渦の持つ渦度、 r i {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}} はi番目の渦の位置、Lは系全体の大きさを表す原点からの半径、aは格子間隔（渦芯の半径）であり、 | r i − r j | > a {\displaystyle \left|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}\right|>a} が仮定されている。上式の第1項は異なる渦の間に働く相互作用エネルギー、第2項は各々の渦自身のエネルギーを表す。 第1項は、渦度ni、njを持つ渦の間に、距離について対数関数として振る舞う相互作用があることを示している。この対数的な相互作用は、2次元系におけるクーロンポテンシャルと同じ形をしている。これは、2次元XY模型における相転移が、2次元クーロン気体における相転移と等価であることを示している。2次元クーロン気体においては、渦度niの代わりに電荷niによって相互作用の性質が変化し、低温においては逆符号の電荷が対となって存在し、電荷が単独で存在できない閉じ込め相、高温では単独の電荷が存在するプラズマ相が現れる。 第2項は、熱力学極限（L→∞）において発散する。これは、無限に広い系において、単独の渦を発生させるためには無限大のエネルギーが必要であり、したがって、単独の渦は存在し得ないことを示唆している。ただし、系全体の渦度がゼロであるとき、つまり中性条件 ∑ i n i = 0 {\displaystyle \sum _{i}n_{i}=0} が満たされるとき、第2項はゼロとなり発散は生じない。これより、逆符号の渦同士が結合した渦対が存在している分には、系全体のエネルギーは有限値に保たれることが分かる。 上式より、渦対のエネルギーは、2個の渦の渦度(ni, nj)を(+1, -1)とすると、 E ∼ 2 π J log | r i − r j a | {\displaystyle E\sim 2\pi J\log \left|{\frac {{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}}{a}}\right|} となる。
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