線型方程式系の解空間

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線型方程式系の解空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)

「線型方程式系」の記事における「線型方程式系の解空間」の解説

V と W を有限次元ベクトル空間とし、変数ベクトル x は V の中を動くものとし、W の元 b と係数行列 A によって定まる線型方程式系 A x = b を考える。また、行列 A の定める線型写像を fA: V → W と記すことにすると、この線型方程式系を解くという問題は、一点集合 {b} の fA による逆像 fA−1(b) の状態（ここで fA−1 は一般には写像にはならず、逆対応の意味である）を記述する問題であると捉えることができる。 本項目は線型方程式の有限系を考察対象とするため、V と W は有限次元であると仮定するが、基本的に以下の議論はベクトル空間 V と W が無限次元であってもほとんどの場合は、適当な読み替えのもとに成立する。一般の場合は線型方程式の項を参照されたい。 方程式系が斉次形 (b = 0) ならば、この方程式は常に零ベクトル x = 0 を解に持つ。これを斉次方程式の自明な解とよぶ。また斉次形ならば方程式の解の重ね合わせが可能である。つまり、 x と y が斉次線型方程式系の解であるとき、任意のスカラー α と β に対して、 αx + βy も同じ方程式系の解となる。したがって斉次方程式系の解全体の集合 fA−1(0) は V の線型部分空間をなし、方程式系の解ベクトル空間あるいは省略して解空間と呼ばれる。斉次方程式の解空間 fA−1(0) は fA の（あるいは A の）核と呼ばれるもので、斉次方程式系の解空間が部分空間をなすという事実は核 ker ⁡ A = ker ⁡ f A := { x ∈ V ∣ A x = 0 } が V の部分空間を成すということに同じである。特に、解空間の次元は fA の退化次数 nul fA に等しい。このことはさらに、n = nul fA とおくと、方程式の一般解が n 個の一次独立な解（基本解） x1, x2, ..., xn と n 個の任意定数（パラメータ）c1, c2, ..., cn によって c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n の形に表されると言い換えることができる。 方程式系が非斉次 (b ≠ 0) であるとき、b が線型写像 fA の像に含まれていなければ方程式系の解は存在せず、b が A の像に属すならば少なくとも一つの解が存在する。さらに線型写像 fA が全射ならば、任意の b ∈ W に対して方程式系は解を持つ。列ベクトル a1, a2, ..., ak によって A = (a1, a2, ..., ak) と表すと、b が線型写像 fA の像に含まれるということは、a1, a2, ..., ak の線型結合として b が表されるということであり、またこれは階数を用いれば、行列 A と行列 B = (a1, a2, ..., ak, b) の間に等式 rank A = rank B が成立することと述べることもできる。 非斉次の線型方程式系が2つの解 x と y を持つとき、差 x − y は 写像 fA の線型性によって A(x − y) = 0 をみたす。したがって、非斉次の線型方程式系の二つの解は随伴する斉次方程式系の解を加える分の違いしか持たない。ゆえに非斉次方程式系の解の一つ（特殊解）と随伴斉次方程式系の一般解により、非斉次方程式のすべての解を記述することができる。つまり、 x0 が A x = b の特殊解であるならば、非斉次方程式の解の全体は x 0 + ker ⁡ f A := { x 0 + v ∈ V ∣ A v = 0 } で与えられる。これは ker A に随伴したアファイン空間であり、やはり方程式系の解空間と呼ばれる。随伴斉次方程式の基本解 x1, x2, ..., xn を用いれば x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n の形にすべての解を書くことができる。 線型方程式 A x = b の解が一意であることは、線型写像 fA が単射であることを意味し、これは ker A = {0} であることと同値である。する。またこれは、階数と退化次数の関係から、fA が非退化 (full rank) であるとも言い換えられる。またこのとき、さらに V, W の次元が同じならば、行列式 |A| は零でない。