一元配置分散分析

統計学用語辞典

一元配置分散分析

例題：
　「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1．餌の種類による肝臓の重量

A餌	3.42	3.84	3.96	3.76
B餌	3.17	3.63	3.47	3.44	3.39
C餌	3.64	3.72	3.91

aov 関数を用いる場合 > d <- data.frame(x=x, g=as.factor(g)) # データフレームにする > summary(aov(x ~ g, d)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) g 2 0.31786 0.15893 4.6146 0.04175 * Residuals 9 0.30997 0.03444 --- Signif. codes: 0 `***' 0.001 `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 R による解析:

> x <- c(3.42, 3.84, 3.96, 3.76, 3.17, 3.63, 3.47, 3.44, 3.39, 3.64, 3.72, 3.91)
> g <- c(1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3)

oneway.test 関数を用いる場合

> oneway.test(x ~ g, var=T)

	One-way analysis of means

data:  x and g 
F = 4.6146, num df = 2, denom df = 9, p-value = 0.04175

> oneway.test(x ~ g)  # 等分散を仮定しないとき（Welch の方法の拡張）

	One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  x and g 
F = 5.0045, num df = 2.000, denom df = 5.389, p-value = 0.05908

等分散でないときの平均値の差の検定によれば，「等分散を仮定しない検定法（Welch の方法の拡張）」を採用するのが良さそうである。

一元配置分散分析

　二次データに基づいて，一元配置分散分析を行う


例題：
　「4 つの群におけるある変数の測定値の集計結果は表 2 のようであった。母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 2．架空データ例

	件数	平均値	標準偏差
第1群	8	135.83	19.59
第2群	11	160.49	12.28
第3群	22	178.35	15.01
第4群	6	188.06	9.81
全体	47	168.17	22.40

R による解析:

> n <- c(8, 11, 22, 6)
> m <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> my.oneway.anova(n, m, SD^2)	# この関数の定義を見る
$anova.table
                     SS d.f.        MS
between class 13669.396    3 4556.4655
within class   9406.843   43  218.7638
total         23076.240   46  501.6574

$result
           F        d.f.1        d.f.2            P 
2.082824e+01 3.000000e+00 4.300000e+01 1.737484e-08 

一元配置分散分析

　一元配置分散分析は，各群の分散が等しいことを前提にしている。分散の均一性をまえもって検定しておく方がよい。
　等分散でないときの平均値の差の検定によれば，「等分散を仮定しない検定法（Welch の方法の拡張）」を採用するのが良さそうである。
　等分散性を確かめてから一元配置分散分析という手順は，検定の多重性という点でも問題がある。最初から等分散を仮定しない一元配置分散分析を行う方がよい。


例題：
　「12 匹のラットに 3 種類の餌を与えたときの肝臓の重量は表 1 のようであった。餌の種類により肝臓の重量の母平均値に差があるといえいるか，有意水準 5% で検定しなさい。」

表 1．餌の種類による肝臓の重量

A餌	3.42	3.84	3.96	3.76
B餌	3.17	3.63	3.47	3.44	3.39
C餌	3.64	3.72	3.91

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「各群の母平均値は等しい」。
   • 対立仮説 H1：「各群の母平均値は等しくない」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
     　注：意味的に両側検定である。F 分布の片側確率を使うという形式的な意味では片側検定である。
   
   
2. 群の数を k，全ケース数を n，各群のケース数を nj，全体の平均値を ，第 j 群における平均値を とする（j=1， 2， ... ， k；Σ nj = n）。
   
3. 平方和 St を求める（全体の不偏分散 Ut が求められていれば，St = ( n - 1 ) Ut としてもよい）。
   
   例題の場合は，St = 0.6278 である。
   
4. 平方和 Sb を求める。
   
   例題の場合は，Sb = 0.3179 である。
   
5. 平方和 Sw を求める。Sw = St - Sb の関係式から求めてもよい。
   
   例題の場合は，Sw = St - Sb = 0.3100 である。
   
6. 表 2 に示すような分散分析表を作る。
   

   表 2.　一元配置分散分析表

   変動要因	変動（平方和）	自由度	不偏分散（平均平方）	F 値
   群間	Sb	dfb = k - 1	Vb = Sb / dfb	F0 = Vb / Vw
   群内	Sw	dfw = n - k	Vw = Sw / dfw
   全体	St = Sb + Sw	dft = n - 1	Vt = St / dft

   
   例題の場合，以下のような分散分析表を得る。
   

   変動要因	変動（平方和）	自由度	不偏分散（平均平方）	F 値
   群間	0.3179	2	0.1589	4.6146
   群内	0.3100	9	0.0344
   全体	0.6278	11	0.0571

   
   F0 = 4.6146 となる。
   
7. 検定統計量 F0 は，第 1 自由度が dfb（ = k - 1 ），第 2 自由度が dfw（ = n - k ）の F 分布に従う。
   例題の場合，自由度は dfb= 2，dfw = 9 である。
   
8. 第 1 自由度が dfb，第 2 自由度が dfw の F 分布において，有意確率を P = Pr｛F ≧ F0｝ とする。
   F 分布表（α = 0.05，α = 0.025，α = 0.01，α = 0.005），または F 分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，自由度が（2，9）の F 分布において，Pr｛F ≧ 4.26｝= 0.05　であるから，P = Pr｛F ≧ 4.6146｝＜ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.0417488）。
   
9. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「各群の母平均値は等しくないとはいえない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「各群の母平均値は等しくない」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「各群の平均値は等しくない」。