圏 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 16:22 UTC 版)

歴史

詳細は「圏論#歴史」を参照

1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。

その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。

参考文献

Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford University Press. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001
Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12 (revised ed.), MR2178101 .
Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory.. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1. Zbl 0803.18001
Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43500-5. Zbl 0797.18001

外部リンク

category in nLab
Weisstein, Eric W. "Category". mathworld.wolfram.com (英語).
category - PlanetMath.（英語）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Category”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

表話編歴圏論
主要項目	圏射エピモニック図式可換図式自然変換圏同値反対圏始対象と終対象普遍性米田の補題双対極限帰納極限射影極限積余積像余像等化子余等化子トポス核余核引き戻しモナド Kan拡張
関手	加法的完全充満随伴対角忠実導来表現可能本質的全射 Hom関手
具体的圏	関手圏前加法圏集合の圏マグマの圏群の圏アーベル群の圏擬環の圏環の圏加群の圏ベクトル空間の圏多元環の圏位相空間の圏距離空間の圏多様体の圏
圏の類	完備圏コンマ圏部分圏モノイド閉圏デカルト閉圏アーベル圏導来圏クライスリ圏デカルトモノイド圏
一般化	豊穣圏 2-圏圏の圏
人物	ソーンダース・マックレーンサミュエル・アイレンベルグアレクサンドル・グロタンディークウィリアム・ローヴェアハインリッヒ・クライスリ
関連分野	代数幾何学普遍代数ホモロジー代数
関連項目	『圏論の基礎』
カテゴリ

注

注釈

^ この目的でz記法の太いセミコロン $⨟$ (U+2A1F) が用意されている
^ これら語法にはやや注意が必要である。通常双圏には定義に現れる等式的公理において、等号の代わりに同型に緩めた条件を課す。厳密に等式として成り立つものは「厳密な 2-圏（英語版）」と言う。2-圏がどちらの意味であるかは文脈による。より高次の圏ではさらに状況が面倒である（どの等号を同型に緩めるかで定義の数は組合せ爆発する）。[1][2][3] などを参照。

出典

^ ^a ^b Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (sep. 1945), “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of The American Mathematical Society 58 (2): 231-294, doi:10.2307/1990284
^ Barr & Wells 2005, Chapter 1.
^ Awodey 2006, Definition 1.12.
^ Weibel 1994, Definition A.1.1.
^ Borceux 1994, Definition 1.2.1.