複素数 形式的構成

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複素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/10 14:35 UTC 版)

形式的構成

実数の対として

1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。

実数の順序対 (a, b) および (c, d) に対して和と積を

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

により定めるとき、(a, b) を複素数という。実数 a は (a, 0) で表され、虚数単位 i は (0, 1) に当たる。このとき、R² は +, × に関して体となり、零元は (0, 0)、単位元は (1, 0) である。

ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した四元数の発見へと結び付いた。

剰余環としての構成

複素数体 C の代数的な構造は、体および多項式の概念により、自然に構成することができる。

体とは、四則演算ができてよく知られた計算法則を満たすものである（例えば有理数体など）。実数全体の成す集合 R は体である。また、係数体が R の多項式全体の成す集合 R[X] は、通常の加法、乗法に関して環を成す（多項式環と呼ばれる）ことに注意する。

剰余環 R[X]/(X² + 1) は、R を含む体であることは示すことができる。この拡大体において、X, −X（の属する剰余類）は −1 の平方根である。この剰余環の任意の元は、多項式の除法の原理より、a + bX（a, b は実数）の形の多項式を代表元に一意に持つ。ゆえに、R[X]/(X² + 1) は R 上の2次元ベクトル空間であり、(1, X)（が属する剰余類）はその基底である。

R[X]/(X² + 1) の元（剰余類）a + bX（a, b は実数）を、実数の順序対 (a, b) に対応させると、前節で述べた体が得られる。この2つの体は体同型である。

行列表現

複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R² 上での一次変換の表現行列を考えることができる。

対応

$a+bi\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\quad (a,b\in \mathbb {R} )$

により、複素数は実二次正方行列で表現することができる。特に、実数単位 1, 虚数単位 i は

$1\leftrightarrow {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の行列の和および行列の乗法に対応する。複素共役は転置行列に対応している。

極形式表示を a + bi = r(cos θ + i sin θ) とすると、

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\,{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

は角度 θ の回転行列のスカラー r 倍であり、これは複素数の積が R² 上で原点を中心とする相似拡大と回転の合成を引き起こすことに対応する。

複素数 z = a + bi の表現行列を A とすると、A の行列式

det A = a² + b² = |z|²

は対応する複素数の絶対値の平方である。

複素数のこの行列表現はよく用いられる標準的なものだが、虚数単位 i に対応する行列 $({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}})$ を例えば $({\begin{smallmatrix}1&1\\-2&-1\end{smallmatrix}})$ に置き換えても、平方が単位行列の −1 倍であり、複素数の別の行列表現が無数に考えられる（後述、また実二次正方行列の項も参照）。