角運動量
角運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/13 14:49 UTC 版)
電子の軌道角運動量 L の大きさ |L| と z 成分 Lz は | L | = l ( l + 1 ) ℏ L z = m ℏ {\displaystyle {\begin{aligned}&|{\boldsymbol {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar \\&L_{z}=m\hbar \end{aligned}}} と表され:138,334頁、ディラック定数を基本単位としていることが分かる。ここで、n を主量子数とすると、l は l = 0, 1, 2, 3, ⋯, n − 1 までの値を取る方位量子数:335頁、m は m = 0, ±1, ±2, ⋯, ±l の (2l + 1) 個の値を取る磁気量子数で:138頁、軌道角運動量を極座標 (r, θ, φ) で表わした場合の角部分が l、動径部分が m である。また、電子のスピン角運動量は ±.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2ħ で、量子力学の分野ではプランク単位系を用いることが多く、その場合の電子のスピンは ±1/2 と書き、この ±1/2 をスピン量子数と呼ぶ。 二原子分子の回転運動を表す際、J を回転量子数とすると、回転の角運動量の大きさは √J(J + 1)ħ、回転運動のエネルギーは BJ(J + 1) と表され、回転定数 B の中に B = ħ2/2I とディラック定数が現れる。ここで、I は分子の重心まわりの主慣性モーメントの非零成分である:51頁。
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角運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/20 02:10 UTC 版)
詳細は「軌道角運動量」を参照 昇降演算子は、角運動量の量子力学的な取り扱いで用いられる。 一般的な角運動量ベクトル J（各成分は Jx, Jy, Jz ）から、2つの昇降演算子J+ 、J–が定義できる。 J ± = J x ± i J y {\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}} ここで i は虚数単位。 直交座標系での各成分は、次の交換関係を満たす。 [ J i , J j ] = i ℏ ϵ i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}} ここでεijk はレヴィ=チヴィタ記号、 i, j, k は x, y, zのいずれか。よって昇降演算子とJz の交換関係は [ J z , J ± ] = ± ℏ J ± , [ J + , J − ] = 2 ℏ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},J_{\pm }\right]&=\pm \hbar J_{\pm },\\\left[J_{+},J_{-}\right]&=2\hbar J_{z}.\end{aligned}}} 昇降演算子を演算子 Jz にかけると J z J ± | j , m ⟩ = ( J ± J z + [ J z , J ± ] ) | j , m ⟩ = ( J ± J z ± ℏ J ± ) | j , m ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) J ± | j , m ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j,m\rangle .\end{aligned}}} この結果と J z | j , m ± 1 ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle J_{z}|j,m\pm 1\rangle =\hbar (m\pm 1)|j,m\pm 1\rangle } を比較すると、 J ± | j , m ⟩ {\displaystyle J_{\pm }|j,m\rangle } は | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle |j,m\pm 1\rangle } のスカラー倍となる。 これは量子数を増減させるという昇降演算子の性質を表している。 J + | j , m ⟩ = α | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = β | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\alpha |j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\beta |j,m-1\rangle .\end{aligned}}} α と β の値を求めるために、J+と J− のエルミート共役( J ± = J ∓ † {\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }} )の関係から、それぞれの演算子のノルムを考えると、 ⟨ j , m | J + † J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J − J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m + 1 | α ∗ α | j , m + 1 ⟩ = | α | 2 , ⟨ j , m | J − † J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J + J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m − 1 | β ∗ β | j , m − 1 ⟩ = | β | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle j,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{-}J_{+}|j,m\rangle =\langle j,m+1|\alpha ^{*}\alpha |j,m+1\rangle =|\alpha |^{2},\\\langle j,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{+}J_{-}|j,m\rangle =\langle j,m-1|\beta ^{*}\beta |j,m-1\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}} 昇降演算子の積は J2 とJzの交換関係で表される。 J − J + = ( J x − i J y ) ( J x + i J y ) = J x 2 + J y 2 + i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 − ℏ J z , J + J − = ( J x + i J y ) ( J x − i J y ) = J x 2 + J y 2 − i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 + ℏ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}} このように |α|2 と|β|2 を J2 と Jz の固有値で表現することができる。 | α | 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 − ℏ 2 m = ℏ 2 ( j − m ) ( j + m + 1 ) , | β | 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 + ℏ 2 m = ℏ 2 ( j + m ) ( j − m + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}} α と β の位相は物理的に意味はないので実数に選ぶと次のようになる。 J + | j , m ⟩ = ℏ ( j − m ) ( j + m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = ℏ ( j + m ) ( j − m + 1 ) | j , m − 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m − 1 ) | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}} m は j ( − j ≤ m ≤ j {\displaystyle -j\leq m\leq j} ) に制限されるので J + | j , j ⟩ = J − | j , − j ⟩ = 0. {\displaystyle J_{+}|j,j\rangle =J_{-}|j,-j\rangle =0.}
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