算術数列

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等差数列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/31 20:22 UTC 版)

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数学における等差数列（とうさすうれつ）または算術数列（さんじゅつすうれつ、（英: arithmetic progression, arithmetic sequence）とは、隣接する各項の差が等しい数列である。隣接する項の差を公差（こうさ、（英: common difference）という。

例えば、5, 7, 9, … は初項 5, 公差 2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … は公差 6 の等差数列である。

等差数列の初項を a₀ とし、その公差を d とすれば、第n 項 a_n は

${\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd}$

GIF動画: 自然数の和 1 + 2 + … + n を求める公式の導出

算術級数の公式は、算術級数 S_n の各項を初項 a₀ で書き換えたものと、末尾の項 a_n で書き換えたもの和から 2S_n を求めることで得られる：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}}$