2つの証明の折衷
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「2つの証明の折衷」の解説
余因子行列の証明において、B の係数 Bi は随伴行列の基本関係式の右辺だけに基づいて決定することができる。実は導かれた最初の n 本の式は、多項式 p(t)In をモニック多項式 Int − A で除した商 B を決定するものと解釈することができ、また最後の式はその除した剰余が零であるという事実を表すと解釈できる。この割り算は行列係数多項式の環において行われる。実際、非可換環係数の場合においてさえも、モニック多項式 P によるユークリッド除法（余り付き除算）は定義され、通常（可換環上）と同様に次数に関する条件を満たす商と剰余が常に一意的に取り出される（ここで P がどちら側因子であるかは決まっていることが前提である。今の場合は左因子である）。 注 ここでの主張において重要な点である「商と剰余が一意であること」を見るには、二通りの表示 PQ + r = PQ′ + r′ があったとしてそれを P(Q − Q′) = r′ − r の形に書けば十分である。実際、P はモニック（最高次係数 1）であるから P(Q − Q′) の次数は Q = Q′ でなければ P の次数より小さくはならない。 しかしここで用いた被除数 p(t)In も除数 Int − A もともに部分環 (R[A])[t] に属している（ここで R[A] は A の生成する行列環 M(n, R) の部分環、すなわち A のすべての冪によって R 上線型に張られる集合である）。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商 B と剰余 0 が与えられる。このことから特に B が実は (R[A])[t] に属すことが分かる。このように可換環部分環の中で考えれば、等式 p(t)In = (tIn − A)B において t を A とおくことは有効、すなわち評価写像 ev A : ( R [ A ] ) [ t ] → R [ A ] {\displaystyle \operatorname {ev} _{A}\colon (R[A])[t]\to R[A]} は環準同型となり第二の証明と同じく所期の p ( A ) = 0 ⋅ ev A ( B ) = 0 {\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0} を与える。 定理を証明することに加えて、上記の論法では B の係数 Bi は A に関する多項式であることまで分かる（これに対して、第二の証明からはそれらは A の中心化環 Z に入ることしか分からない。一般に Z は R[A] より大きな部分環であり、可換とも限らない）。特に定数項 B0 = adj(−A) が R[A] に入る。A は勝手な正方行列でよかったのだから、これにより adj(A) が常に A の多項式に書ける（係数は A ごとに変わる）ことが保証される。 実は最初の証明で求めた等式により順番に B n − 1 , ⋯ , B 1 , B 0 {\displaystyle B_{n-1},\cdots ,B_{1},B_{0}} を A の多項式として表すことができ、任意の n次正方行列に対して有効な恒等式 adj ( − A ) = ∑ i = 1 n c i A i − 1 {\displaystyle \operatorname {adj} (-A)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}A^{i-1}} が導かれる。ここに、ci は A の固有多項式 p(t) = tn + cn−1tn−1 + … + c1t + c0 のものである。 注 この恒等式はケイリー・ハミルトンの定理の主張を含意するものである。実際、adj(−A) を右辺に移項してから A を（左から、あるいは右から）掛け、基本関係式 (adj) から分かる： − A ⋅ adj ( − A ) = adj ( − A ) ⋅ ( − A ) = det ( − A ) I n = c 0 I n {\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}} を入れれば所期の式である。 「ファデーエフ-ルヴェリエのアルゴリズム（英語版）」も参照
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