連続線型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:34 UTC 版)
線型位相空間の間の線型写像のうちで、さらに位相空間の間の写像として連続写像になっているものが線型位相空間の対称性を反映していると考えられるが、これらは連続線型写像（れんぞくせんけいしゃぞう、continuous linear function）あるいは有界（線型）作用素（ゆうかいせんけいさようそ、bounded [linear] operator）とよばれる。関数空間上に積分核によって表される作用素 f ( x ) ↦ T K f ( y ) , T K f ( y ) = ∫ K ( y , x ) f ( x ) d x {\displaystyle f(x)\mapsto T_{K}f(y),T_{K}f(y)=\int K(y,x)f(x)dx} はしばしば有界作用素と見なすことができる。 特定の線型位相空間上の有界作用素のなす代数系は一様収束・各点収束など様々な位相をもち、そのうちいくつかは位相環の構造を与えている。
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連続線型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 17:31 UTC 版)
「局所凸位相ベクトル空間」の記事における「連続線型写像」の解説
局所凸空間はベクトル空間であるとともに位相空間であるので、二つの局所凸空間の間で考えられる自然な函数は連続線型写像である。半ノルムを用いることで、線型写像の連続性に対する必要十分条件は、バナッハ空間に対して知られているより有名な有界性の条件と非常に似たものとして与えられる。 それぞれ半ノルムの族 {pα}α および {qβ}β を備える局所凸空間 V および W が与えられたとき、ある線型写像 T : V → W が連続であるための必要十分条件は、すべての β に対して、V 内のすべての v が q β ( T v ) ≤ M ( p α 1 ( v ) + ⋯ + p α n ( v ) ) {\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right)} を満たすような α1, α2, ..., αn および M > 0 が存在することである。これを言い換えると、T の値域の各半ノルムが定義域内の半ノルムのある有限和によって上から評価される、となる。族 {pα}α が有向族で、上述のように向き付けられるように常に選ばれるなら、上の式はより簡単かつ有名な次の形になる： q β ( T v ) ≤ M p α ( v ) . {\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).} すべての局所凸位相ベクトル空間の類は、射としての連続線型写像を伴う圏を形成する。
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