連続転置写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/29 16:13 UTC 版)
位相線型空間の間の連続線型写像 T: V → W の（連続的）転置 T' : W' → V' は、代数的な場合と同様に T ′ ( φ ) = φ ∘ T , ( φ ∈ W ′ ) {\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad (\varphi \in W')} と定義され、汎関数 T'(φ) は V' に属する。対応 T ↦ T' は V から W への線型汎関数の空間から W' から V' への線型汎関数の空間への線型写像を定める。また、連続線型汎関数 T, U が合成できるとき ( U ∘ T ) ′ = T ′ ∘ U ′ {\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'} が成り立つ。V と W がともにノルム空間ならば、転置写像 T' ∈ L(W', V') のノルムは T ∈ L(V, W) のそれと一致する。またハーン・バナッハの定理からいくつかの転置写像の性質が導かれる。例えば、有界線型写像 T の値域が稠密となる必要十分条件は、その転置 T' が単射となることである。 バナハ空間の間のコンパクト線型写像 T: V → W に対し、その転置 T' もまたコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理を用いて証明できる。 V がヒルベルト空間であるとき、V からその連続的双対 V' の上への逆転同型 iV が存在し、V 上の任意の有界線型写像 T に対して、その連続的転置 T' とエルミート共役 T∗ は i V ∘ T ∗ = T ′ ∘ i V {\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}} なる関係で結ばれている。二つの位相線型空間の間の連続線型写像 T に対し、その転置 T' が連続となるのは、W' と V' の位相が「両立」するときである。例えば、V = W = X とし、両者の双対 X' にはともに X 上の有界集合上一様収束の位相（強位相） β(X', X) を入れたとき、あるいはともに X 上の各点収束の位相（弱-∗ 位相）σ(X', X) を入れたときなど。すなわち転置写像 T' は β(W', W) から β(V', V) への、あるいは σ(W', W) から σ(V', V) への連続線型写像となる。
※この「連続転置写像」の解説は、「連続的双対空間」の解説の一部です。
「連続転置写像」を含む「連続的双対空間」の記事については、「連続的双対空間」の概要を参照ください。
- 連続転置写像のページへのリンク
