複素多様体の部分多様体でのブローアップ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/24 06:20 UTC 版)
「ブローアップ (数学)」の記事における「複素多様体の部分多様体でのブローアップ」の解説
もっと一般に、Cn の中の余次元kの任意の複素部分多様体Zでブローアップすることができる。Z を方程式 x 1 = ⋯ = x k = 0 {\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0} の解集合とし、 y 1 , … , y k {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}} をPk − 1の斉次座標とする。このとき、ブローアップは空間Cn × Pk − 1における C ~ n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}} すべての i と j についての方程式 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} の解集合である。 さらに一般に、局所的にこの構成を使うことで任意の複素多様体Xの任意の部分多様体でブローアップすることができる。これは、前と同じくブローアップの中心Z を例外因子Eで置き換える操作になっている。言い換えると、ブローアップ写像 π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X} は双有理写像になっていて、Eの外では同型写像になっており、E上ではファイバーPk − 1を持つ局所自明なファイブレーション（英語版）になっている。実際、制限 π | E : E → Z {\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z} はXにおけるZの法束（英語版）を射影化したものと自然に見ることができる。 E は滑らかな因子なので、その法束は直線束である。E が自分自身と負に[訳語疑問点]交叉することを見るのは難しくない。これは、この法束は正則な切断を持たないことを意味する。それゆえ、E は X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} におけるそのホモロジー類の唯一の滑らかな複素代表元である（仮にEが同じ類の中で他の複素部分多様体に摂動できたとしよう。するとこの2つの部分多様体は、複素部分多様体の交叉が常にそうであるように、正に交叉する。これは E が負の自己交叉を持つことに反する）。これが、この因子が例外因子と呼ばれる理由である。 VをZではないXの他の部分多様体とする。V がZと交わりを持たなければ、Zに沿ったブローアップで本質的には何の影響も受けない。しかし、Z と交わる場合には、ブローアップ X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} において2つの異なるVに対応するものがある。1つは固有変換（proper transform）、または狭義変換（strict transform, 強変換とも）と呼ばれるもので、これは π − 1 ( V ∖ Z ) {\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)} の閉包である。これの X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} における法束は通常はXにおけるVのそれと異なる。もう1つは全変換（total transform）と呼ばれるもので、Eの一部、または全部を併せたものである。これは、本質的にはコホモロジーにおいてVを引き戻したものである。
※この「複素多様体の部分多様体でのブローアップ」の解説は、「ブローアップ (数学)」の解説の一部です。
「複素多様体の部分多様体でのブローアップ」を含む「ブローアップ (数学)」の記事については、「ブローアップ (数学)」の概要を参照ください。
- 複素多様体の部分多様体でのブローアップのページへのリンク
