直観的意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 23:15 UTC 版)
量子群の発見は全く予想されていなかった、というのも、長い間、コンパクト群や半単純リー環は「堅い」対象である、言い換えると、「変形」(deform) できないと思われていたからだ。量子群の背後にある思想の1つは、ある意味で同値だがより大きい構造、すなわち群環や普遍包絡環を考えれば、群あるいは包絡環は「変形」できる（変形すると群や包絡環ではなくなるが）ということである。正確には、変形は可換とも余可換とも限らないホップ代数の圏において達成される。変形した対象を、アラン・コンヌ (Alain Connes) の非可換幾何の意味での「非可換空間」上の関数の代数として考えることができる。しかしながら、この直観は、Leningrad School (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgenii Sklyanin, Nicolai Reshetikhin and Vladimir Korepin) と、Japanese School による関連した研究によって発展された、量子ヤン・バクスター方程式（英語版）と量子逆散乱法（英語版）の研究において、量子群の特定のクラスが有用性を既に証明された後に来た。量子群の第二の双クロス積（英語版）のクラスの背後にある直観は異なり、量子重力へのアプローチとして自己双対な対象の研究から来た。
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直観的意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/18 08:45 UTC 版)
スカラー場 φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} の物質微分は直観的には流れに乗って動く物体から見た場合における φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} の変化率を表す。（ベクトル場の場合も同様）。 実際、位置のグラフ u ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)} で記述される質点の軌道は速度場 v ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)} にそっているので、 d u d t = v ( u , t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {u}},t)} となるから(なお、この性質を満たす u ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)} を流跡線という)、ライプニッツ則から d φ ( u , t ) d t = ( ∇ φ ) ⋅ d u d t + ∂ φ ∂ t = v ⋅ ∇ φ + ∂ φ ∂ t = D φ D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi ({\boldsymbol {u}},t)}{\mathrm {d} t}}=(\nabla \varphi )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi +{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}} が成立する。 上では一粒子しかない場合を想定したが、初期時刻における位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} でパラメトライズされた粒子の族 u ( X , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)} を考えた場合も、 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} を固定して同様の証明を行う事で、同様の式が導ける。更に粒子の族を連続体にまで拡張したものが物質微分である。 以上の説明から分かるように、物質微分 D φ D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}} は物質に固定して観測する座標系（物質表示）における時間微分を表すが、それに対し通常の偏微分 ∂ φ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}} は空間上に固定された座標系（空間表示）における時間微分であるといえる。
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