環 (数学)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2023/10/23 07:49 UTC 版)
数学における環(かん、英: ring)とは、台集合に「加法」(和)および「乗法」(積)と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。
注釈
- ^ a b 乗法に関しては半群となることのみを課す(乗法単位元の存在を要求しない)こともある。#定義に関する注意を参照
- ^ a b 二項演算の定義に演算の閉性を含める場合も多く、その場合二項演算であるといった時点で閉性も出るから、特に断らないことも多い。
- ^ 自明環の意味で「零環」という語を用いることもあるが、零環は一般に「任意の積が 0 に潰れている(擬)環」の意味でも用いるので、ここでは明確化のために自明環を零環と呼ぶのは避けておく。
- ^ 逆に任意の環は適当なアーベル群の自己準同型環における部分環として実現できる[8]。これは群論におけるケイリーの定理の環論的類似である。
- ^ 文献によっては、可換性まで環の公理に含めて、単に環といえば可換環のことを指しているという場合がある。
出典
- ^ Herstein 1964, §3, p.83
- ^ a b c d The development of Ring Theory
- ^ Herstein 1975, §2.1, p.27
- ^ Herstein, I. N. Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), ISBN 0-471-01090-1.
- ^ Joseph Gallian (2004), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin, ISBN 9780618514717
- ^ Neal H. McCoy (1964), The Theory of Rings, The MacMillian Company, p. 161, ISBN 978-1124045559
- ^ Raymond Louis Wilder (1965), Introduction to Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, p. 176
- ^ Anderson & Fuller 1992, p. 21.
- ^ Cohn, Harvey (1980), Advanced Number Theory, New York: Dover Publications, p. 49, ISBN 9780486640235
- ^ Jacobson (2009), p. 86, footnote 1.
- ^ Fine, Benjamin (1993), “Classification of finite rings of order p2”, Math. Mag. 66: 248-252, doi:10.1080/0025570X.1993.11996133
- ^ Jacobson 1945
- ^ Pinter-Lucke 2007
- ^ Jacobson (2009), p.162, Theorem 3.2.
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