微分積分学の超準化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)
記号 ∗ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} } で超自然数の集合を表すものとする。拡大原理によれば、これは N {\displaystyle \mathbb {N} } の上位集合になっている。集合 ∗ N ∖ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} } は空でない。このことを見るためには、可算飽和性を次の内的集合の列に適用する： A n = { k ∈ ∗ N : k ≥ n } {\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbb {N} }:k\geq n\}} 列 { A n } n ∈ N {\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は空でない減少列であるから、所望の結果を得る。 幾つかの定義から始める：超実数 r , s {\displaystyle r,s} が無限に近いとは、次が成り立つことをいう： r ≅ s ⟺ ∀ θ ∈ R + , | r − s | ≤ θ {\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbb {R} ^{+},\ |r-s|\leq \theta } 超実数 r {\displaystyle r} が無限小（infinitesimal）であるとは、それが 0 に無限に近いことである。例えば、もし n {\displaystyle n} が自然数でない超自然数、つまり、 ∗ N ∖ N {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} } の元であるならば、 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} は無限小である。超実数 r {\displaystyle r} が限定（limited）または有限（finite）とは、その絶対値がある標準自然数で抑えられる（より小さい）ことである。有限超実数の全体は、全ての実数を含むような、 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } の部分環を成す。この環において、無限小超実数の全体はイデアルを成す。 有限超実数の成す集合や無限小超実数の成す集合は V ( ∗ R ) {\displaystyle V({}^{\ast }\mathbb {R} )} の外的な部分集合である。これの意味するところは（実際的な場面においては）内的集合に限定された有界量化は、これらの集合を亙ることはできないということである。 例：超実平面 ∗ R × ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} \times {}^{\ast }\mathbb {R} } は内的であり、平面ユークリッド幾何のモデルである。他方、各座標を有限値に限定したもの（デーン平面の類似）は外的であり、平行線公準を破る。例えば ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} を通り無限小の傾きを持つどんな直線も x {\displaystyle x} 軸と平行である。 定理. いかなる有限超実数 r {\displaystyle r} も、ある一意的な標準実数 s t ( r ) {\displaystyle \mathrm {st} (r)} に無限に近い。これにより定まる写像 s t {\displaystyle \mathrm {st} } は有限超実数の成す環から R {\displaystyle \mathbb {R} } への環準同型になっている。 この写像 s t {\displaystyle \mathrm {st} } もまた外的である。 s t ( r ) {\displaystyle \mathrm {st} (r)} を r {\displaystyle r} の標準部という。どんな有限超実数も標準実数と無限小超実数の和として一意的に表せるので、複素数における実部と虚部に倣って、その標準項のことを標準部というのである。超実数の標準部の存在は次のようにして示される：どんな有限超実数 s {\displaystyle s} も、 s {\displaystyle s} 未満からなる標準実数の集合 L {\displaystyle L} を定める。 s {\displaystyle s} は有限であるから L {\displaystyle L} は上に有界な非空集合である。したがって実数の完備性より、 L {\displaystyle L} は標準実数の範囲で上限を持ち、これが標準部の条件を満たすことが確かめられる。 連続性の直観的な特徴付けとして次のものがある： 定理. 区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の実数値関数 f {\displaystyle f} が連続であるのは、区間 ∗ [ a , b ] {\displaystyle {}^{\ast }[a,b]} 内のどんな超実数 x {\displaystyle x} に対しても ∗ f ( x ) = f ( s t ( x ) ) {\displaystyle {}^{\ast }f(x)=f(\mathrm {st} (x))} が成り立つとき、かつそのときに限る。（詳しく微小連続の項を参照） 同様に、 定理. 実数値関数 f {\displaystyle f} が実数値 x {\displaystyle x} において微分可能であるのは、任意の無限小超実数 h {\displaystyle h} に対して、標準部 f ′ ( x ) = st ( ∗ f ( x + h ) − ∗ f ( x ) h ) {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)} が存在し（つまり括弧内の差分商が有限値で）かつ h {\displaystyle h} に依存しないとき、かつそのときに限る。このとき f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} は実数であり、 f {\displaystyle f} の x {\displaystyle x} における微分となる。
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