半順序集合として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 09:58 UTC 版)
半順序集合 (L, ≤) が束であるとは、以下の二条件が満足されるときに言う。 二元の結びの存在 L の任意の二元 a, b に対して、二元集合 {a, b} が結び（上限、最小上界、和） a ∨ b を持つ。 二元の交わりの存在 L の任意の二元 a, b に対して、二元集合 {a, b} が交わり（下限、最大下界、積） a ∧ b を持つ。 これにより、∨ および ∧ は L 上の二項演算となる。最初の条件は L が結び半束（英語版） (join-semilattice) となることを主張するものであり、後の条件は L が交わり半束（英語版） (meet-semilattice) となることをいうものである。二つの演算はその順序に関して単調である。すなわち、a1 ≤ a2 かつ b1 ≤ b2 ならば a 1 ∨ b 1 ≤ a 2 ∨ b 2 , a 1 ∧ b 1 ≤ a 2 ∧ b 2 {\displaystyle a_{1}\lor b_{1}\leq a_{2}\lor b_{2},\quad a_{1}\land b_{1}\leq a_{2}\land b_{2}} がともに成り立つ。 このとき、帰納的に、束の任意の空でない有限集合に対して、その結び（上限）および交わり（下限）の存在が示せる。さらに仮定を増やせば、もっといろいろなことが言える場合もある。完備性 (順序集合論)（英語版）等を参照。そういった文脈では、上記の定義をもっと別の方法、例えば適当なガロワ接続（英語版）の存在によって定義することもできる（これは束に対するある種のガロワ理論的な手法である）[要出典]。 有界束 (bounded lattice) は 1 で表される最大元 (greatest element, maximum, top (⊤)) および 0 で表される最小元 (least element, minimum, bottom (⊥)) を持つ束である。任意の束は最大元と最小元を付加することにより有界束とすることができる。また、空でない任意の有限束は有界である（全ての元の結びおよび交わりが最大元及び最小元を与える）。すなわち、A = {a1, …, an} ならば 1 = ⊤ := ⋁ A ( = a 1 ∨ ⋯ ∨ a n ) , 0 = ⊥ := ⋀ A ( = a 1 ∧ ⋯ ∧ a n ) {\displaystyle {\begin{aligned}1=\top &:=\bigvee A&&(=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}),\\0=\bot &:=\bigwedge A&&(=a_{1}\land \cdots \land a_{n})\end{aligned}}} が成り立つ。 半順序集合が束となる必要十分条件は、任意の有限部分集合（零元集合としての空集合を含む意味で言う）が結びおよび交わりを持つことである。ここで、空集合に関する結びは最小元、空集合に関する交わりは最大元となるものと約束する。 ⋁ ∅ = 0 , ⋀ ∅ = 1. {\displaystyle \bigvee \varnothing =0,\quad \bigwedge \varnothing =1.} この規約は、結びおよび交わりの結合性および可換性に整合性を持たせるためのものである。すなわち、有限集合の族の和集合の結びはそれらの集合の結びの結びに一致し、双対的に、有限集合の族の和集合の交わりがそれらの集合の交わりの交わりとなる。これは、具体的に束 L の有限部分集合を A, B とすると、 ⋁ ( A ∪ B ) = ( ⋁ A ) ∨ ( ⋁ B ) , ⋀ ( A ∪ B ) = ( ⋀ A ) ∧ ( ⋀ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee \left(A\cup B\right)&=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee B\right),\\\bigwedge \left(A\cup B\right)&=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge B\right)\end{aligned}}} がともに成り立つという意味である。ここで B として空集合を取ると ⋁ ( A ∪ ∅ ) = ( ⋁ A ) ∨ ( ⋁ ∅ ) = ( ⋁ A ) ∨ 0 = ⋁ A , ⋀ ( A ∪ ∅ ) = ( ⋀ A ) ∧ ( ⋀ ∅ ) = ( ⋀ A ) ∧ 1 = ⋀ A {\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee \left(A\cup \emptyset \right)&=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee \emptyset \right)=\left(\bigvee A\right)\vee 0=\bigvee A,\\\bigwedge \left(A\cup \emptyset \right)&=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge \emptyset \right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge 1=\bigwedge A\end{aligned}}} となり、これは A ∪ ∅ = A であるという事実と整合する。
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