半順序構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/11 04:09 UTC 版)
環の冪等元がなす集合に対し半順序を e ≤ f ⇔ ef = e = fe で定めることができる。このとき 0 は最小の冪等元であり、1 は最大の冪等元である。直交冪等元 e と f に対し、e + f もまた冪等元であり、e ≤ e + f および f ≤ e + f が成り立つ。原始冪等元はちょうどこの半順序のatom（英語版）である。 上述の半順序を環 R の中心的冪等元がなす集合 B(R) に制限すると、ブール代数の構造を与えることができる。2 つの中心的冪等元 e, f に対し、結びと交わり、補元はそれぞれ e ∨ f = e + f − ef e ∧ f = ef ¬e = 1 − e によって与えられる。すると順序は単に e ≤ f ⇔ eR ⊆ fR となり、結びと交わりは (e∨f)R = eR + fR および (e∧f)R = eR ∩ fR = (eR)(fR) を満たす。環 R がフォン・ノイマン正則かつ右自己移入的（英語版）であれば、 B(R) は完備束である。
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