ハーディ・リトルウッドのF予想
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/24 10:16 UTC 版)
「ウラムの螺旋」の記事における「ハーディ・リトルウッドのF予想」の解説
ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドは1923年のゴールドバッハの予想に関する論文の中でいくつかの予想を述べているが（ハーディ・リトルウッド予想と総称される）、その中にはもし真であればウラムの螺旋の特に目立つ特徴について説明を与える可能性があるものが含まれている。ハーディとリトルウッドが“F予想”と呼ぶこの予想は、ベイトマン・ホーン予想（英語版）の特殊な場合であり、ax2 + bx + cの形をした素数の個数の漸近式について主張するものである。ウラムの螺旋の中央部から生じる、水平線と垂線に対し45°の角度をなす半直線上に乗る数字は4x2 + bx + cで表すことができ、ここにbは偶数である。水平もしくは垂直な半直線の上に乗る数字は先述の公式でbが奇数の場合である。F予想は、こうした半直線上に乗る素数の密度を見積もる公式を与える。これは半直線によって密度が相当ばらつくことを示唆している。とりわけ、密度は判別式b2 − 16cにかなり左右される。 F予想はax2 + bx + cのa、b、cがすべて整数であり、aが正の整数の場合を考えるものである。もし係数が1より大きい公約数を持っているか、もしくは判別式Δ = b2 − 4acが平方数であるならば、この多項式は因数分解できるのでxが0, 1, 2, ...の値をとれば合成数を与える（ただし、xの取り方によっては片方の素因数が1である可能性はある。そのようなxは高々2個存在する）。さらに、a + bとcが両方とも偶数であれば、多項式はすべて偶数となり、したがって合成数である（素数2である可能性はある）。ハーディとリトルウッドはこうした場合を除外すれば、ax2 + bx + c(x=0, 1, 2, ...)からは無限の素数が生成されると予想した。これはより古いブニャコフスキー予想の特殊な場合であり、現在まで証明されていない。ハーディとリトルウッドはさらに進んで、ax2 + bx + cから生成される、n以下の素数の個数P(n)は次の公式で近似できると予想した。 P ( n ) ∼ A 1 a n log n {\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}} ただし、ここでAはa、b、cに依存するが、nからは独立な値である。素数定理によれば、公式のAを1とすれば、n以下の整数のうち素数が占める密度と、ax2 + bx + cにより生成されるn以下の素数の密度は漸近的に等しいということになる。しかしAの値は1以上も1以下も取りうるので、この予想によればいくつかの多項式はより多く素数を生成し、他はより少ない。非常に多くの素数を生成する多項式として4x2 − 2x + 41があり、これはウラムの螺旋において視覚的に目立つ半直線を形成する（図を参照されたい）。この多項式の場合、定数Aは約6.6であり、予想によればこの多項式から生成されるn以下の整数の集合と、同じ個数だけランダムにn以下の整数を集めた集合を比較した場合、前者のほうが約7倍も素数を含んでいることを示している。この多項式はレオンハルト・オイラーの素数生成多項式x2 − x + 41と密接な関係があり、オイラーの式のxを2xで置き換えるか、xを偶数に限定することで得られる。 ハーディ・リトルウッドの予想では式中のAは以下の式で与えられる。 A = ε ∏ p ( p p − 1 ) ∏ ϖ ( 1 − 1 ϖ − 1 ( Δ ϖ ) ) {\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}\left({\frac {p}{p-1}}\right)\prod _{\varpi }\left(1-{\frac {1}{\varpi -1}}\left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)\right)} ただし、pはaとbの両方を割り切るような素数であり、 ϖ {\displaystyle \varpi } はaを割りきらないような奇素数である。εは、a + bが奇数であれば1、a + b が偶数であれば2である。 ( Δ ϖ ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)} はルジャンドル記号である。現在までに知られている最大のAは約11.3で、ヤコブソンとウィリアムズによって発見された。
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