ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/21 17:29 UTC 版)
「ソボレフ不等式」の記事における「ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題」の解説
ソボレフ自身によるソボレフ埋蔵定理の本来の証明は、ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの分数冪積分（英語版）定理として知られる以下の内容に従うものであった。同様の内容は (Aubin 1982, Chapter 2) においてはソボレフの補題としても知られている。証明は (Stein, Chapter V, §1.3) に見られる。 0 < α < n と 1 < p < q < ∞ を定める。Iα = (−Δ)−α/2 を Rn 上のリースポテンシャルとする。このとき、 q := p n n − α p {\displaystyle q:={\frac {pn}{n-\alpha p}}} に対して、p にのみ依存する定数 C が存在して、次が成り立つ: ‖ I α f ‖ q ≤ C ‖ f ‖ p . {\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.} p = 1 なら、次の弱い形式の評価が成立する: m { x ; | I α f ( x ) | > λ } ≤ C ( ‖ f ‖ 1 λ ) q {\displaystyle m\left\{x;\ \left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C{\Big (}{\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}{\Big )}^{q}} ここで 1/q = 1 − α/n である。 ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題は、リース変換とリースポテンシャルの間の関係により、本質的にソボレフの埋め込みを意味するものである。
※この「ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題」の解説は、「ソボレフ不等式」の解説の一部です。
「ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題」を含む「ソボレフ不等式」の記事については、「ソボレフ不等式」の概要を参照ください。
- ハーディ＝リトルウッド＝ソボレフの補題のページへのリンク
