ハーディ＝リトルウッドの極大不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/03 02:23 UTC 版)
「ハーディ＝リトルウッドの極大函数」の記事における「ハーディ＝リトルウッドの極大不等式」の解説
G. H. Hardy と J. E. Littlewood の定理では、p > 1 に対して M は、Lp(Rd) からそれ自身への劣線形作用素（英語版）として有界であることが示されている。すなわち、f ∈ Lp(Rd) であるなら、極大函数 Mf は弱 L1-有界で、Mf ∈ Lp(Rd) である。定理の詳細を述べる前に、簡単のため、集合 {x | f(x) > t} を以下では {f > t} と表すことにする。今、次が成り立つ。 定理（弱いタイプの評価） d ≥ 1 と f ∈ L1(Rd) に対し、ある定数 Cd > 0 が存在して、次の不等式が任意の λ > 0 について成り立つ： | { M f > λ } | < C d λ ‖ f ‖ L 1 ( R d ) . {\displaystyle \left|\{Mf>\lambda \}\right|<{\frac {C_{d}}{\lambda }}\Vert f\Vert _{L^{1}(\mathbf {R} ^{d})}.} このハーディ＝リトルウッドの極大不等式を元に、マルチンケーヴィッチの補間定理の直接的な帰結として、次の「強いタイプ」の評価が得られる： 定理（強いタイプの評価） d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ および f ∈ Lp(Rd) に対し、ある定数 Cp,d > 0 が存在して次が成り立つ。 ‖ M f ‖ L p ( R d ) ≤ C p , d ‖ f ‖ L p ( R d ) . {\displaystyle \Vert Mf\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\leq C_{p,d}\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}.} この強いタイプの評価において最良の Cp,d は知られていない。しかし、Elias M. Stein（英語版） は回転のカルデロン＝ジグムント法を利用して、次を証明した。 定理（次元独立性） 1 < p ≤ ∞ に対し、d に独立して Cp,d = Cp を取ることが出来る。
※この「ハーディ＝リトルウッドの極大不等式」の解説は、「ハーディ＝リトルウッドの極大函数」の解説の一部です。
「ハーディ＝リトルウッドの極大不等式」を含む「ハーディ＝リトルウッドの極大函数」の記事については、「ハーディ＝リトルウッドの極大函数」の概要を参照ください。
- ハーディ＝リトルウッドの極大不等式のページへのリンク
