クラトフスキーの定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/05 18:06 UTC 版)
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義 ( a , b ) K := { { a } , { a , b } } {\displaystyle (a,b)_{\text{K}}:=\{\{a\},\,\{a,b\}\}} を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも p = ( x , x ) = { { x } , { x , x } } = { { x } , { x } } = { { x } } {\displaystyle p=(x,x)=\{\{x\},\,\{x,x\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\}} として有効な定義になっていることである。 順序対 p が与えられたとき、「p の第一成分が x である」という性質は ∀ Y ∈ p : x ∈ Y {\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y} として定式化することができる。「p の第二成分が x である」という性質は ( ∃ Y ∈ p : x ∈ Y ) ∧ ( ∀ Y 1 , ∀ Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},\,\forall Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))} と定式化できる。第一成分と第二成分が等しいときは、連言の右側の条件 ( ∀ Y 1 , ∀ Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\forall Y_{1},\,\forall Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))} は Y1 ≠ Y2 となることが絶対に無いので、明らかに真である。 順序対の第一座標は π 1 ( p ) = ⋃ ⋂ p {\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p} とすることで簡単に取り出せる。第二座標の取り出しは第一座標のそれより難しいが、 π 2 ( p ) = { ⋃ ⋂ p if ⋂ p = ⋃ p ⋃ ( ⋃ p ∖ ⋂ p ) if ⋂ p ≠ ⋃ p {\displaystyle \pi _{2}(p)={\begin{cases}\bigcup \bigcap p&{\text{if }}\bigcap p=\bigcup p\\[7pt]\bigcup \left(\bigcup p\smallsetminus \bigcap p\right)&{\text{if }}\bigcap p\neq \bigcup p\end{cases}}} とすればよい。 上述のクラトフスキーによる順序対の定義は順序対が満足すべき特徴づけ ( a , b ) = ( x , y ) ⟺ a = x ∧ b = y {\displaystyle (a,b)=(x,y)\iff a=x\land b=y} を満足するに「相応しい」ものである。ほかにもこれと同じくらい相応しい、同様あるいはより単純な形の定義として クラトフスキーの定義の変形版 ( a , b ) reverse := { { b } , { a , b } } , {\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\,\{a,b\}\},} ( a , b ) short := { a , { a , b } } , {\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\,\{a,b\}\},} ( a , b ) 01 := { { 0 , a } , { 1 , b } } {\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\,\{1,b\}\}} などが存在する。reverse（逆順）版はあまり使われないが、クラトフスキーの定義の自明な変形版であり、もとの定義で見たこと以外の特徴としてとくに見るべきものは無い。short（省略）版はその名の通り、もとの定義にブレースの組が三つあったことに比べて、ふたつの組に減っている。short 版が順序対の特徴付けを満足することの証明には、ZFCの正則性公理が必要である。さらに、自然数の集合論的構成を認めるならば、自然数の "2" は集合 {0, 1} = {0, {0}} として定義されるが、これは順序対 (0, 0)short と区別が付かない。 これらの定義が特徴づけを満足する事 (a, b) = (c, d) となるための必要十分条件が a = c かつ b = d であることを示す。 Kratowski の定義 十分性 a = c かつ b = d ならば {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ゆえ (a, b)K = (c, d)K である。 必要性 a = b と a ≠ b のふたつの場合がある。 a = b のとき、(a, b)K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a}} = {{a}} に注意すれば { { c } , { c , d } } = ( c , d ) K = ( a , b ) K = { { a } } {\displaystyle \{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)_{\text{K}}=(a,b)_{\text{K}}=\{\{a\}\}} から {c} = {c, d} = {a} でなければならないが、これは a = c かつ a = d ということであり、また仮定より a = b であったから b = d を得る。 a ≠ b のとき、(a, b)K = (c, d)K は {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} の意である。まず、{c, d} = {a} であるとすると c = d = a ゆえ { { c } , { c , d } } = { { a } , { a , a } } = { { a } , { a } } = { { a } } {\displaystyle \{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}} となるがこれと {{a}, {a, b}} とが等しいとすると b = a であることになり、a ≠ b という仮定に反する。また、{c} = {a, b} であるとすると a = b = c ゆえ同様に a ≠ b という仮定に反する。したがって、{c} = {a} であり、c = a および {c, d} = {a, b} を得る。このとき d = a であるとすると {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b} で矛盾するから、この場合 d = b であり、まとめると a = c かつ b = d であることを得る。 Reverse 版 (a, b)reverse = {{b}, {a, b}} = {{b}, {b, a}} = (b, a)K であることに注意すれば簡明である。十分性 a = c かつ b = d ならば {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}} ゆえ (a, b)reverse = (c, d)reverse を得る。 必要性 (a, b)reverse = (c, d)reverse ならば (b, a)K = (d, c)K ゆえに b = d かつ a = c である。 Short 版 十分性 明らか。 必要性 {a, {a, b}} = {c, {c, d}} を仮定すれば a は左辺に属すから、したがって右辺にも属する。集合の相等条件は属する元が全体として相等しいことであったから、a = c か a = {c, d} のうちのいずれか一方が成り立つ。 a = {c, d} ならば上と同様の理由で {a, b} が右辺に属するから {a, b} = c であるか {a, b} = {c, d} である。{a, b} = c ならば c は {c, d} = a に属し、a は c に属するが、これは {a, c} が「～の元である」という関係の下での最小元を持たないことになり、正則性の公理に矛盾する。{a, b} = {c, d} ならば a は a の元で、a = {c, d} = {a, b} から再び正則性に反する。ゆえに a = c でなければならない。 再びはじめに戻れば、{a, b} = c または {a, b} = {c, d} である。{a, b} = c かつ a = c とすれば c は c の元となり正則性に反する。ゆえに a = c かつ {a, b} = {c, d} であり、それゆえに { b } = { a , b } ∖ { a } = { c , d } ∖ { c } = { d } {\displaystyle \{b\}=\{a,b\}\smallsetminus \{a\}=\{c,d\}\smallsetminus \{c\}=\{d\}} したがって b = d を得る。
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