順序対の入れ子としての定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/13 17:11 UTC 版)
「順序組」の記事における「順序対の入れ子としての定義」の解説
集合論における順序対のモデル化は順序対を用いても定義できる。ただし、順序対は既に定義されているものとする（そして、順序対は二つ組である）。 0-組（空組）は空集合 ∅ とする。 n > 0 に対する n-組は、初項と (n − 1)-組との順序対 ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) := ( a 1 , ( a 2 , a 3 , … , a n ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}):=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))} と定める。 この構成を (n − 1)-組に対しても帰納的に適用して、最終的に ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = def ( a 1 , ( a 2 , ( a 3 , ( … , ( a n , ∅ ) … ) ) ) ) . {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n},\emptyset )\ldots )))).} 同様の仕方で、要素を後ろに追記していく形に定義することもできる: 0-組 ∅; n > 0 に対して ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) := ( ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n − 1 ) , a n ) . {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}):=((a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).} したがって帰納的に ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) = def ( ( … ( ( ( ∅ , a 1 ) , a 2 ) , a 3 ) , … ) , a n ) . {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}((\ldots (((\emptyset ,a_{1}),a_{2}),a_{3}),\ldots ),a_{n}).} さて集合論において、順序対は集合として定義される（例えばクラトフスキーの定義）から、順序対による順序組の定義も集合によって定式化できる: 0-組 ∅; n-組 x = (a1, a2, …, an) と右に追加される要素 b に対し、 ( a 1 , a 2 , … , a n , b ) := { { x } , { x , b } } {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b):=\{\{x\},\{x,b\}\}}
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