順序対とデカルト積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 07:54 UTC 版)
直感的には、順序対は、1つが最初の要素として、もう1つが2番目の要素として区別できるような2つの対象の集まりである。2つの順序対について、最初の要素が等しくかつ2番目の要素が等しいとき、またそのときに限って2つの順序対は等しい。 形式的には、通常は (a, b) で表される第1座標 a と第2座標 b の順序対は、集合 {{a}, {a, b}} で表される。 したがって、2つの順序対 (a, b) と (c, d) は、a = c かつ b = d のとき、またそのときに限って等しい。 あるいは、順序対は形式的に全順序を持つ集合 {a, b} と考えることができる。 （表記 (a, b) は、実数直線上の開区間を表すのにも用いられるが、文脈上どの意味が意図されているかを明らかにする必要がある。表記 ]a, b[ で開区間を、(a, b) で順序対を表すように区別することもある）。 A と B を集合とすると、デカルト積（または単に積）は次のように定義される。 A × B = {(a, b) : a は A に含まれ、 b は B に含まれる}。 つまり、 A × Bは、最初の座標が A の要素であり、2番目の座標が B の要素であるすべての順序対の集合である。 この定義は順序付けられた3つ組の集合 A × B × C に拡張でき、より一般に任意の正の整数 n の順序付けられた n-タプルの集合にも拡張できる。無限デカルト積を定義することも可能だが、これには積のより厳密な定義が必要である。 デカルト積は、解析幾何学の文脈でルネ・デカルトによって最初に導入された。 R がすべての実数の集合を表すとすると、 R2 := R × R はユークリッド平面を表し、 R3 := R × R × R は3次元ユークリッド空間を表す。
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