「定理」の数学的な解釈とは? わかりやすく解説

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「定理」の数学的な解釈

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/22 17:12 UTC 版)

無限の猿定理」の記事における「「定理」の数学的な解釈」の解説

定理の主張含まれる「十分長い」、「ほとんど確実」といった言葉確率論およびその基礎となる解析学において厳密に定義された用語であり、したがって定理の主張数学的に味のある主張である。ただし「ほとんど確実に」という言葉測度論に基づく確率論用いられる語であり、主張の内容正確に理解した証明したりするには測度論を必要とする。証明にはボレル-カンテリの補題用いる。 ここではそのような厳密な議論には立ち入らず、この定理言わんとすることを初等的に考察してみる。話を簡単にするため、タイプライターキーがちょう100個あるとする (この数は実際キー配列での数に近い)。例えば「monkey」という1単語からなる文章全部で6文字あるので、ランダムにキー叩いて、「monkey」とタイプされる確率は、 1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 = ( 1 100 ) 6 = 1 10000000000000000 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}&=\left({\frac {1}{100}}\right)^{6}&={\frac {1}{10000000000000000}}\end{aligned}}} (1兆分の1) である (ここでは、タイプ一様性独立性仮定している)。これは非常に小さな確率であるが、0ではないため、が「ランダムに6個のキーを打つ」という操作を非常に多く回数繰り返せば「monkey」という文字列タイプされる確率100%に非常に近くなる文章中の文字数7つ8つ増えるごとに、その文章打たれる確率減ってゆくが、いずれにせよ0にはならないから、7文字文章であろうと8文字文章であろうと、根気よくランダムにキー打ち続ければ、いつかはその文章打たれることになる。同様に考えれば、一冊に何もの文字を含むシェイクスピア著作であってもいずれは打ち出されることになるのである。 しかし、文章が含む文字の数が増えれば増えるほど、その文章打たれる確率指数関数的に減少しそのような文字列現れるのに必要な時間の期待値はとてつもない速度上昇していくことにも注意しなければならない指数関数時間参照)。例えば仮に1秒間10万文字打てるとしても、たった100文字文章登場させるのに要する時間100億年の1無量大数倍の1000京倍にもなる。まして、『ハムレット』一冊を打つのにかかる時間途方もない長さである。このように理論上有限時間はどんな文章で打てるが、そのために要する時間想像を絶するほど大きなのである

※この「「定理」の数学的な解釈」の解説は、「無限の猿定理」の解説の一部です。
「「定理」の数学的な解釈」を含む「無限の猿定理」の記事については、「無限の猿定理」の概要を参照ください。

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