リー群 リー群の概要

リー群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2014/08/20 08:25 UTC 版)

複素数平面において中心 0、半径 1 の円周は複素数の積に関してリー群である。
群論
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群論

定義

G台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元で(多くの場合無限回微分可能という意味で)可微分な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである(群演算が可微分写像となっていることを「群演算が可微分多様体の構造と両立する(可換である、あるいはうまくいっている)」といい表す)。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数(実多様体)を複素数(複素多様体)にとりかえて複素リー群の概念が定まる。

リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体のの群対象のことであるということができる。

複素数C 上の二次特殊線型群 SL(2, C) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて(代数的)行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類(正確には、ある代数閉体上の一般線型群の部分群であって、成分代数方程式によって与えられるもの)に属す。

一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。また、類似物として係数の属する体を p-進数体にとりかえて p-進リー群が定義される。あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。すなわち、G が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、G 上の解析的構造が唯一つ存在して、G をリー群にすることができる(ヒルベルトの第5問題あるいはヒルベルト-スミス予想)。

いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。

  • ユークリッド空間 Rn は、ベクトルの加法を群演算と見て可換リー群である。
  • 可逆n正方行列全体 GLn(R) は行列の積によって群をなす(一般線型群と呼ばれる)が、これを n2 次元のユークリッド空間の部分多様体とみるとリー群である。この一般線型群は、行列式の値が 1 となる行列全体のなす群(特殊線型群と呼ばれる)を部分群として含むが、これもやはりリー群の例となる。
  • n 次元ベクトル空間における回転と鏡映が生成する変換群 On(R) は直交群と呼ばれるリー群である。
  • スピノル群特殊直交群の二重被覆であり、場の量子論におけるフェルミ粒子の研究に用いられる。
  • 斜交群 Sp2n(R) は、シンプレクティック形式を保つ行列全体のなすリー群である。
  • 0 次元球面 S0, 1 次元球面 S1 および 3 次元球面 S3 は、これらをそれぞれ絶対値が 1 の実数全体、複素数全体、四元数全体と同一視することでリー群にすることができる。他の次元の球面ではこのようなことはできないし、リー群にはならない。リー群としての S1 はしばしば円周群と呼ばれる。いくつかの円周群同士の直積リー群はトーラス群と呼ばれる。
  • n 次の上三角行列の全体からなる群 Bn(n + 1)/2 次元の可解リー群である。しばしば標準ボレル部分群と呼ばれる。
  • ローレンツ群およびポワンカレ群特殊相対性理論において時空の等長性を記述するリー群で、それぞれ 6 および 10 次元である。
  • ハイゼンベルグ群は 3 次元リー群で量子力学に登場する。
  • nユニタリ群 U(n) はユニタリ行列全体のなす n2 次元のコンパクトリー群である。行列式の値が 1 のユニタリ行列全体のなすリー群 SU(n) を部分群として含む。
  • 直積リー群 U(1) × SU(2) × SU(3) は 1 + 3 + 8 = 12 次元のリー群である。これは標準模型ゲージ群で、それぞれの次元は 1 が光子、3 がベクトルボソン、8 がグルーオンに対応している。
  • メタプレクティック群 Mp は 3 次元のリー群である。SL2(R) の二重被覆群で、モジュラー形式の理論に用いられる。これを有限行列表現することはできない。
  • G2, F4, E6, E7, E8 型の例外型リー群はそれぞれ 14, 52, 78, 133, 248 次元である。 次元 190 のリー群 E7½ もある。

リー群から新たなリー群を作り出す標準的な方法がいくつか挙げられる。たとえば、

  • 二つのリー群から直積群をつくると、これは直積位相に関してリー群になる(直積リー群)。
  • リー群の閉部分群をとると、これは相対位相でリー群をなす(リー部分群)。
  • リー群をその正規閉部分群で割った商はリー群である(商リー群)。
  • 連結リー群の普遍被覆もまたリー群である(普遍被覆リー群)。例として、加法に関するリー群 R の普遍被覆は円周群 S1 である。

リー群で無いものの例を挙げる:

  • 無限次元実ベクトル空間を加法群と見たもののような無限次元群。これは有限次元の多様体ではないのでリー群ではない(無限次元リー群ではある)。
  • ある種の完全不連結群、たとえば体の無限次拡大ガロア群や、p-進数全体のなす加法群などがそうである。これらがリー群でないのは実多様体を台としないからである(後者は p-進リー群に属する)。
  • 連結リー群のリー群準同型像は必ずしもリー群にはならない。典型的な例として、可換リー群 R を直積リー群 S1 × S1 へ、写像 x→(x,√2x) によって写すことを考える。この像は S1 × S1 の稠密な部分群で、したがってこれは多様体にならないし、特にリー群にはならない。これはまた、リー環の部分リー環がリー群の部分リー群に対応しないことの例ともなっている。
  • 有理数体の加法群に実数体における位相の相対位相を入れたものも、多様体にならないのでやはりリー群ではない。








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