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1/5

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/02/06 07:42 UTC 版)

この項目では、有理数の1/5について記述しています。月日については「1月5日」をご覧ください。

$\tfrac{1}{5}$ （5分の1、ごぶんのいち）は、有理数のうち 0 と 1 の間にある数であり、5 の逆数である。

数学的性質

$\tfrac{1}{5}$ は 1÷5 に等しく、十進法では 0.2 と表記され、十二進法では 0.24972497… と表記され、二十進法では 0.4 と表記される（下線部はそれぞれの循環節）。
iのi乗の主値は $i^i = e^{-\frac{\pi}{2}} = 0.2078 \cdots$ であり、 $\tfrac{1}{5}$ に近い値である。

その他 1/5 に関すること

日本国憲法第57条第3項では「出席議員の五分の一以上の要求があれば、各議員の表決は、これを会議録に記載しなければならない。」と規定されている。
国会の押しボタン式投票でも出席議員の五分の一以上の要求があれば、記名投票に切り替えなければならない。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
⅕	U+2155	1-7-90	⅕ ⅕	5分の1

表・話・編・歴 1/n

… 1/0 • 1/1 • 1/2 • 1/3 • 1/4 • 1/5 • 1/6 • 1/7 • 1/8 • 1/9 • 1/10 …

表・話・編・歴 n / 10

0/10 • 1/10 • 2/10 • 3/10 • 4/10 • 5/10 • 6/10 • 7/10 • 8/10 • 9/10 • 10/10

15

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2012/01/12 16:33 UTC 版)

14 ← 15 → 16
素因数分解	3×5
二進法	1111
八進法	17
十二進法	13
十六進法	F
二十進法	F
ローマ数字	XV
漢数字	十五
大字	拾五
算木
位取り記数法	十五進法

15（十五、じゅうご、とおあまりいつつ、fifteen）は自然数、また整数において、14 の次で 16 の前の数である。ラテン語ではquindecim（クィーンデキム）。

性質

15 は合成数であり、約数は 1、3、5 と 15 である。
4つ以上の約数を持つ奇数の合成数としては最小である。
5番目に小さい三角数であり、1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。1つ前は 10、次は 21。
3番目に小さい六角数であり、 3(2*3-1) = 15。1つ前は 6、次は 28。
6番目の半素数で、1つ前は14、次は21。
3番目の五胞体数である。1つ前は5、次は35。
1/15 = 0.0666…（下線部は循環節。）
6 番目に小さい二重階乗数であり、5!! = 1 × 3 × 5 = 15、1つ前は 8、次は 48。
6番目のテトラナッチ数であり、1つ前は8、次は29。
4番目のベル数である。1つ前は5、次は52。
3番目の完全トーティエント数である。1つ前は9、次は27。
(15,16)は3番目のルース=アーロン・ペアである。1つ前は(8,9)、次は(77,78)。
3×3の魔方陣の一列の和は15である。

8	1	6
3	5	7
4	9	2

正15角形は定規とコンパスで作図できる。
九九では 3 の段で 3 × 5 = 15 （さんごじゅうご）、5 の段で 5 × 3 = 15 （ごさんじゅうご）と2通りの表し方がある。
15! = 1307674368000 である（13桁）。

その他15に関連すること

15の接頭辞：quinquadec, quindec（拉）、pentakaideca（希）
15倍をクィンデキュプル(quindecuple)という。
原子番号15の元素は、燐 (P)。
小惑星番号15番の小惑星はエウノミアである。
15は、E6系列の標準数。
第15代天皇は、応神天皇。
第15代内閣総理大臣は、桂太郎。
鎌倉幕府第15代執権は、北条貞顕。
通算して第15代の征夷大将軍は、建武の新政期の護良親王。
室町幕府第15代将軍は、足利義昭。
江戸幕府第15代将軍は、徳川慶喜。
第15代自由民主党総裁は、宮澤喜一。15代徳川慶喜が江戸幕府の最後の将軍であったことが、15代宮澤総裁の時の総選挙敗北で保守合同以後初めて自民党が野党に転落した際によく引き合いに出された。また、足利義昭も室町幕府最後の将軍である。
大相撲第15代横綱は、梅ヶ谷藤太郎。
アメリカ合衆国第15代大統領は、ジェームズ・ブキャナン。
アメリカ合衆国の15番目の州は、ケンタッキー州。
殷朝第15代帝は、沃甲。
周朝第15代王は、荘王。
ルイ15世は、ブルボン朝第4代フランス王。
タロットの大アルカナでXVは、悪魔。
易占の六十四卦で第15番目の卦は、地山謙。
十五夜は、満月の夜。新月から約15日後に現れるのでこの名がある。
- また旧暦8月15日の月見も十五夜といい、この夜の月は中秋の名月（ちゅうしゅうのめいげつ）という。
結婚15周年記念日は、水晶婚式。
経度15°毎に、時差は 1時間となる。（360÷24 = 15）
論語に由来する言葉で、15歳を「志学」という。
青年は、一般的に15歳から24歳までを指す。
旧ソビエト連邦15ケ国。アゼルバイジャン・アルメニア・ウクライナ・ウズベキスタン・エストニア・カザフスタン・キルギス・グルジア・タジキスタン・トルクメニスタン・ベラルーシ・モルドバ・ラトビア・リトアニア・ロシア連邦。
日本の最高裁判所大法廷の裁判官は、15人。
道路の15号線
F-15 イーグルは、アメリカの戦闘機。
MiG-15は、ソ連の戦闘機。
P-15は、ソ連のミサイル。
Su-15は、ソ連の戦闘機。
各種のU-15
連珠では、原則として十五路盤が用いられる。
ラグビーの1チームは15人であり、選手たちをフィフティーンという。
テニスの1回での得点は15点であり、1 vs 0を「フィフティーン・ラブ」（15点 vs 0点）という。
サッカーのハーフタイムは15分。及び、延長戦の時間が15分ハーフ。
高校野球の最大延長は15回までで、トーナメント戦での引き分けの場合は再試合となる。
日本プロ野球・中日ドラゴンズの背番号15は西沢道夫選手（投手→内野手）の永久欠番である。また、福岡ソフトバンクホークスでも藤井将雄投手がダイエー時代の2000年に急逝して以来、事実上の欠番状態となっている。
昭和14年夏場所から大相撲は、1場所15日制。
交響曲第15番
弦楽四重奏曲第15番
ピアノソナタ第15番
『U-15.F スキにさせて!』は、テレビ東京系列で放送されていたバラエティ番組。
『Sh15uya』は、テレビ朝日系列で放送された特撮テレビドラマ。
『15 明刹工業高校ラグビー部』は、成瀬芳貴の漫画。
『ロンリーガールフィフティーン』は、ウェブ上の連続番組。
『Sweet 15th Diamond』は、渡辺美里のアルバム。
『15』は、SOPHIAのアルバム。
『HAPPY 15』は、THE ポッシボーの7枚目のシングル。
『15 1/2 フィフティーンハーフ』は、TETSU69のシングル。
『15の夜』は、尾崎豊のデビューシングル。
『夢見る 15歳（フィフティーン）』は、スマイレージのメジャーデビューシングル。
『フィフティーン・ラブ』は、塀内夏子の漫画。
『十五少年漂流記』は、ジュール・ヴェルヌの小説。
「サクセス15」は、社会評論社の高校進学情報誌。
15パズルは、1878年にアメリカのサム・ロイドが考案したパズル。
大日本帝国陸軍第15方面軍
各国の第15軍
各国の第15師団
各国の第15旅団
第15連隊
- 大日本帝国陸軍歩兵第15連隊
- 陸上自衛隊
  - 第15普通科連隊
  - 第15後方支援隊
スペインでは、女性の15歳を殊に盛大に祝う風習がある。
かつて、プロボクシングの世界タイトル戦は15回戦（最大15ラウンド）で行われていた（リング禍を機に、1980年代から12回戦に短縮された）。

2桁までの自然数
(0)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
太字で表した数は素数である。

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2011/06/15 15:23 UTC 版)

(１５から転送)

正の数（せいのすう、positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、negative number）とは、0より小さい実数である。数学において負の数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などにおいて数字を赤くしたり括弧でくくることによって表すこともある。

ゼロ自身は正でも負でもない。負でない数とはゼロより小さくない（つまり、正かゼロの）実数である。正でない数とはゼロより大きくない（つまり、負かゼロの）実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない体、例えば複素数体、有限体、p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 x − y = z がどんな x と y に対しても、 zに関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負の数は、温度のように目盛り上でゼロより低くなる値を記述するのに役立つ。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしば赤い数字や括弧でくくった数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい（すなわち正であるかゼロである）ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

行列の正負

実行列Aについて、Aが負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、実行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負（行列理論）あるいは、完全に正（コンピュータ科学者）と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない（あるいは単に、正である）とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAが B*.Bと書けることと同値になる。

符号関数

定義域が実数であり、正の数に対して1を、負の数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

$\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.$

このとき（x=0の場合を除き）以下の式が得られる。

$\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.$

ここで |x| は x の絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正の数に対して1を、負の数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

$\operatorname{csgn}(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.$

複素数の大小は以下のように解釈する。

$\begin{cases} x>0 \iff \operatorname{Re}(x) > 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) > 0) \\ x<0 \iff \operatorname{Re}(x) < 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) < 0) \\ \end{cases}$

符号付き数の算術演算

加法と減法

加法と減法の目的では、負の数は負債と考えることができる。

負の数を加えることは対応する正の数を引くことに等しい。

5 + (−3) = 5 − 3 = 2

（¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である）

–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号はしばしば上付きで書かれる。

⁻2 + ⁻5 = ⁻2 − 5 = ⁻7

正の数をより小さな正の数から引くと、結果は負となる。

4 − 6 = −2

（¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る）

正の数を任意の負の数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9

（負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる）

負の数を引くことは対応する正の数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7

（純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる）

別の例

−8 − (−3) = −5

（負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る）

乗法

負の数に正の数を掛けると、積は負となり、2つの負の数を掛けると、積は正となる。

−2 × 3 = −6

−4 × −3 = 12

これを理解する方法の1つは、正の数による乗法を加法の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負の数による乗法も加法の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗法の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負の数による乗法」と同じ解釈を負の数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3	= − (−4) − (−4) − (−4)
	= 4 + 4 + 4
	= 12

しかし形式的な視点からは、2つの負の数の乗法は積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1	= (−1) × (−1) + (−2) + 2
	= (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
	= (−1) × (−1 + 2) + 2
	= (−1) × 1 + 2
	= (−1) + 2
	= 1

除法

除法は乗法に似ている。被除数と除数の符号が異なるなら、商は負となる。

8 / −2 = −4

−10 / 2 = −5

両方の数が同じ符号を持つなら、商は（両方が負であっても）正となる。

−12 / −3 = 4

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) （これは整数 a − b を表していると考えることができる）を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合Nを整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZをN²の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序をZに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + d ≤ b + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは負の数を実世界で見付けることができなかったためである（例えば、負の数のリンゴを持つことはできない）。その抽象概念は早ければ紀元前100年 – 紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本』^[1]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 （解は負となる）と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負の数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負の数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』（628年）において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負の数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負の数とゼロがかかわる演算に関する規則も与えている。彼は正の数を「財産」、ゼロを「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ^[2]^[3]。12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負の数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』（1202年）の第13章で負の数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負の数を表した。ヨーロッパ人の著書で負の数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負の数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]は1759年、負の数は存在しないという結論に達した^[4]。

負の数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負の数が無限大より大きいと信じており（この見解はジョン・ウォリスと共通である）、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった^[5]。負の数が無限大より大きいという論拠は、 $\frac{1}{x}$ の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

脚注と参考文献

^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負の数に関する論争の歴史。

外部リンク

BBC Radio 4 series "In Our Time", on Negative Numbers, March 9, 2006（英語）
Endless Examples & Exercises: Operations With Signed Integers（英語）
Math Forum: Ask Dr. Math FAQ: Negative Times a Negative（英語）

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