23とは?

3分の2

読み方:さんぶんのに
別表記:三分の二、2/3

3等分したうちの2つ分を意味する表現

23

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2017/10/14 06:12 UTC 版)

22 23 24
素因数分解 23 (素数
二進法 10111
六進法 35
八進法 27
十二進法 1B
十六進法 17
十八進法 15
二十進法 13
ローマ数字 XXIII
漢数字 二十三
大字 弐拾参
算木 Counting rod h2.pngCounting rod v3.png

23(二十三、廿三、にじゅうさん、はたみ、はたちあまりみつ)は、22 の次、24 の前の整数である。 英語の序数詞では、23rd、twenty-thirdとなる。

性質

  • 9番目の素数である。1つ前は19、次は29双子素数でない奇素数のうち最小の数である。
  • 1/23 = 0.0434782608695652173913…(下線部は循環節でその長さは 22)
    • 循環節が n − 1(全ての余りを巡回する)である4番目の素数である。1つ前は19、次は29。
    • 前の 17, 19と次の29も該当するため、連続する4つ以上の素数が「循環節= n − 1」となる最初の組み合わせとなる。次は「487491499503509」(5つ連続)である[1]
  • 23、233、2333、23333はいずれも素数である。
  • 5番目のソフィー・ジェルマン素数である。1つ前は11、次は29。
  • 4番目の安全素数である。1つ前は11、次は47
  • 5番目の階乗素数である(n! − 1 の形としては2番目)。1つ前は7、次は719
  • 2番目の 8n − 1 型の素数である。この類の素数は x2 − 2y2 と表せるが、23 = 52 − 2 × 12 である。1つ前は 7、次は 31
  • 23番目の素数:83もソフィー・ジェルマン素数かつ安全素数である。
  • 最小の素な素数である。次は31である。
  • レピュニット R23 = 11,111,111,111,111,111,111,111 は 3番目に小さなレピュニット素数である。一つ前のレピュニット素数は R19、次は R317
  • 23! = 25852016738884976640000 は、23桁の数である。
  • ウェアリングの問題で9個の立方数が必要な最小数である。つまり、8個以下の和では表せないともいえる。13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 23 + 23 = 23
    • 立方数が9個必要なのは他に239しかない。
  • 連続した素数の和 (5 + 7 + 11) で表せる素数である(合成素数)。
  • 23人の中に同じ誕生日を持つ複数人の組が少なくとも1組できる確率

であり、1/2 より大きくなる。

その他 23 に関すること

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+3253 1-8-35 ㉓
㉓
CIRCLED DIGIT TWENTY THREE

脚注

  1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A1913

関連項目

2桁までの自然数
(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
  • 斜体で表した数は素数である。

正の数と負の数

(23 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/10/15 04:22 UTC 版)

正の数(せいのすう、: positive number)とは、0より大きい実数である。負の数(ふのすう、: negative number)とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない、例えば複素数体、有限体p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 xy = z がどんな xy に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしばい数字(赤字)や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

行列Aについて、A負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負(行列理論)あるいは、完全に正(コンピュータ科学者)と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない(あるいは単に、正である)とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAB*.Bと書けることと同値になる(行列の定値性も参照)。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

このとき(x=0の場合を除き)以下の式が得られる。

ここで |x| は x絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

複素数の大小は以下のように解釈する。

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上(親や祖父母など)、正数は未来や年下(子供や孫など)であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

Number-line.gif
9 − 5 = 4
(9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。)
7 − (−2) = 9
(7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。)
−4 + 12 = 8
(4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。)
5 + (−3) = 5 − 3 = 2
(¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である)
–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある(ただし、会計では負符号を△で表現する)。

2 + 5 = 2 − 5 = 7
△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2
(¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る)

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9
(負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる)

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7
(純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる)

別の例

−8 − (−3) = −5
(負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る)

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。 [1]

(−20) × 3 = −60

(負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。)

(−40) × (−2) = 80

(後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。)

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3  =   − (−4) − (−4) − (−4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1  =  (−1) × (−1) + (−2) + 2
=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
=  (−1) × (−1 + 2) + 2
=  (−1) × 1 + 2
=  (−1) + 2
=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

(負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。)

24 ÷ (−4) = −6

(東を正数、西を負数とする場合:4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。)

両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗乗算除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

33 = 27

(×3 ×3 ×3 = 27)

3−3 = 1/27

(÷3 ÷3 ÷3 = 1/27)

360 × 23 = 2880

(360 ×2 ×2 ×2 = 2880)

36 × 5−1 = 7.2

(36 ÷5 = 7.2)

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) (これは整数 ab を表していると考えることができる)を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合N整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZN2の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序Zに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + db + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである(例えば、負数のリンゴを持つことはできない)。その抽象概念は早ければ紀元前100年紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントス3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』(628年)において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数とが関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[3][4]12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界ブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]1759年、負数は存在しないという結論に達した[5]

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、 の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

脚注と参考文献

  1. ^ 「相対論の式を導いてみよう、そして、人に話そう」小笠英志 ベレ出版 ISBN-13: 978-4860642679 の PP.121-127にマイナス×マイナスがプラスになることの小学生も納得できる説明が書いてある。
  2. ^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  3. ^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
  4. ^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
  5. ^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
  6. ^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負数に関する論争の歴史。

外部リンク


2/3

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/12/04 16:08 UTC 版)

2/33分の2、さんぶんのに)は、01 の間にある有理数の一つである。

数学的性質

その他 2/3 に関すること

  • 中国数学および和算では、2/3大半または太半と呼ぶ。
  • 割合では、2/3 は「大多数」という意味を持つ場合がある。
  • 日本国憲法では
    • 第55条で「議員議席を失わせるには、出席議員の三分の二以上の多数による議決を必要とする。」
    • 第57条で「出席議員の三分の二以上の多数で議決したときは、秘密会を開くことができる。」
    • 第58条で「議員を除名するには、出席議員の三分の二以上の多数による議決を必要とする。」
    • 第59条で「衆議院で可決し、参議院でこれと異なった議決をした法律案は、衆議院で出席議員の三分の二以上の多数で再び可決したときは、法律となる。」
    • 第96条で「この憲法の改正は、各議院の総議員の三分の二以上の賛成で、国会が、これを発議し、国民に提案してその承認を経なければならない。」
とそれぞれ規定している。

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+2154 1-7-89 ⅔
⅔
3分の2




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