13とは?

Weblio 辞書 > 学問 > 分子構造 > 13の意味・解説 
物質
アルミニウム
英語名
Aluminium
元素記号
13
原子番号
13
分子量
26.981539
発見
1825年
原子半径(Å)
1.43
融点(℃)
660.4
沸点(℃)
2486
密度(g/cm3
2.69
比熱(cal/g ℃)
0.215
イオン化エネルギー(eV)
5.986
電子親和力(eV)
0.46


13

作者大原まり子

収載図書
出版社早川書房
刊行年月1997.9

収載図書血―吸血鬼まつわる八つ物語
出版社早川書房
刊行年月2000.6
シリーズ名ハヤカワ文庫JA

収載図書超・恋・愛
出版社光文社
刊行年月2001.10
シリーズ名光文社文庫


13

作者リン・ディン

収載図書血液石鹸
出版社早川書房
刊行年月2008.9
シリーズ名ハヤカワepiブック・プラネット


13

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/11 13:38 UTC 版)

12 13 14
素因数分解 13 (素数
二進法 1101
八進法 15
十二進法 11
十六進法 D
二十進法 D
ローマ数字 XIII
漢数字 十三
大字 拾参
算木 Counting rod h1.pngCounting rod v3.png

13十三、じゅうさん、とおあまりみつ)は自然数、また整数において、12 の次で 14 の前のである。英語では thirteen(サーティン、サーティーン)と表記される。西洋を中心に「13 = 忌み数」という認識が強いことから、様々な効果を狙って作品のタイトルなどに使用されることも多い。なお、英語の序数詞では 13th (thirteenth) と表記される。19 (nineteen) まで続く英語の語尾 “-teen”(ティーン)の始まりとなる。ラテン語での表記は tredecim (トレーデキム)。

性質

  • 6番目の素数である。1つ前は 11、次は 17
  • 11 と 13 は3番目の双子素数。1つ前は (5, 7)、次は (17, 19)。
  • 7 と 13 は2番目のセクシー素数。1つ前は (5, 11)、次は (11, 17)。
  • (5, 7, 11, 13) (11, 13, 17, 19) はそれぞれ1番目、2番目の四つ子素数。次は (101, 103, 107, 109)。
  • 213 − 1 = 8191 は5番目のメルセンヌ素数である。一般に 2n − 1 が素数であるためには n も素数でなければならない。
  • 7番目のフィボナッチ数である。1つ前は 8、次は 21
  • 6番目のトリボナッチ数である。1つ前は 7、次は 24
  • 13# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509 であり、n# + 1 の形で合成数を生む最小の n である(n# は素数階乗、つまり n 以下の素数の総乗)。
  • 1/13 = 0.076923… (下線部は循環節)。
  • 10進数表記において桁を入れ替えても素数となる、最小のエマープである。13 ⇔ 31
  • 132 = 169, 961 = 312。このような素数は13, 31のみ。
  • 13! = 6227020800
  • 13 = 30 + 31 + 32。この形の数の1つ前は 7、次は 21
    • 3の累乗和と見たとき1つ前は4、次は40
    • a0 + a1 + a2の形で表される2番目のフィボナッチ数である。1つ前は 3、次は 21
    • a0 + a1 + a2の形で表される3番目の素数である。1つ前は 7、次は 31
  • 各位の和が13となるハーシャッド数の最小は 247、1000までに5個、10000までに36個ある。
  • 13,14,15の3連続整数の3辺でできる三角形の面積が整数(84)となる2番目の組である。1つ前は 3,4,5、次は 51,52,53。
  • 2番目の六芒星数である。1つ前は1、次は37
  • 約数の和が13になる数は1個ある。(9) 約数の和1個で表せる7番目の数である。1つ前は8、次は14
    • 約数の和が奇数になる4番目の奇数である。1つ前は7、次は15

基本的な計算のリスト

乗法
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
13 \times x 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273
x 22 23 24 25 26 27 28 29 30
13 \times x 286 299 312 325 338 351 364 377 390

その他 13 に関連すること

十三個一組で数えるもの

行政区画・植民地
宗派・教派
13人によるもの

脚注

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出典

  1. ^ 十三仏霊場(鳴門観光興業)
  2. ^ 十三重塔[リンク切れ](談山神社公式サイト)
  3. ^ 十三重塔いろいろ[リンク切れ](徒然なるままに)
  4. ^ 諏訪大社上社:十三所(上十三所・中十三所・下十三所)(諏訪大社と諏訪神社 from八ヶ岳原人版)
  5. ^ 信濃國十三社巡り(玄松子の記憶)
  6. ^ 吉野裕子『陰陽五行と日本の歴史』(大和書房)
  7. ^ 櫛の十三や 東京と京都 どっちが本家?(木のメモ帳:木あそび)
  8. ^ 十三湊遺跡(五所川原市ホームページ)
  9. ^ 十三神社(神社ふり〜く)
  10. ^ 十三神社・神野宮(神奈備)
  11. ^ 十三社神社(東京都神社庁
  12. ^ 十三所社(山梨県神社庁)

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+246C 1-13-13 ⑬
⑬
CIRCLED DIGIT THIRTEEN
U+2480 - ⒀
⒀
PARENTHESIZED DIGIT THIRTEEN
U+2494 - ⒔
⒔
DIGIT THIRTEEN FULL STOP
U+24ED 1-12-13 ⓭
⓭
DOUBLE CIRCLED DIGIT THIRTEEN

関連項目

2桁までの自然数
(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
  • 斜体で表した数は素数である。

1/3

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/03/13 01:13 UTC 版)

1/33分の1、さんぶんのいち)は、01 の間にある有理数の一つで、3逆数である。

数学的性質

その他 1/3 に関すること

脚注

  1. ^ 【味の素KK】「パルスイート®」「スリムアップシュガー®」低カロリー料理集 「パルスイート® カロリーゼロ」

符号位置

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+2153 1-7-88 ⅓
⅓
3分の1

正の数と負の数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2016/05/23 17:36 UTC 版)

(13 から転送)

正の数(せいのすう、: positive number)とは、0より大きい実数である。負の数(ふのすう、: negative number)とは、0より小さい実数である。

定義

数学において負数はマイナス記号を数字の前につけて表されるが、簿記などでは数字を赤くしたり三角形を数字の前に付けることによって表すこともある。

は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。

複素数の体系で考えている場合、そのうち実数についてのみ正負を論じ、虚数は正でも負でもないとされる。例えば「正の数」と言えば、それが実数であることを暗黙のうちに含意するが、明確化のために「正の実数」と言うこともできる。

一般に順序体において、零元より大きな元を正の元、零元より小さな元を負の元という。順序体ではない、例えば複素数体、有限体p 進数体においては、四則演算と両立する正負の概念を定義することができない。

負の数

負の整数は、方程式 xy = z がどんな xy に対しても、z に関する方程式として意味をもつように自然数の体系を拡張して得られるものだと考えられる。このような負の整数の捉え方と同様にして、負の有理数や負の実数も得られる。

負数は、温度のように目盛り上で零より低くなる値を記述するのに有用である。簿記においても、負債の表現に使用できる。簿記において、負債はしばしばい数字(赤字)や三角形を前に付けた数字によって表す。

負でない数

実数はゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)ときかつそのときに限り、負でない。したがって負でない整数はゼロ以上の全ての整数であり、負でない実数はゼロ以上の全ての実数である。

実行列

行列Aについて、A負でないということを、Aのすべての成分が負でない、というふうに定めることができる。このとき、実行列のうちには正とも負とも言えないものもあることになる。また、行列Aについて、Aの全ての正方部分行列の行列式が負でないとき、Aのことを完全に非負(行列理論)あるいは、完全に正(コンピュータ科学者)と呼ぶことがある。

一方で、線形代数的な観点から、実対称行列やより一般に複素エルミート行列について、上とは異なった正負の概念がしばしば用いられる。エルミート行列Aは、その固有値の全てが負でないときに、負でない(あるいは単に、正である)とよばれる。Aが負でないということはある行列BについてAB*.Bと書けることと同値になる(行列の定値性も参照)。

関数

符号関数

定義域が実数であり、正数に対して1を、負数に対して−1を、ゼロに対して0を返す関数 sgn(x) を定義できる。この関数は符号関数と呼ばれることがある。

\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

このとき(x=0の場合を除き)以下の式が得られる。

\sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} = \frac{d{|x|}}{d{x}} = 2H(x)-1.

ここで |x| は x絶対値であり、H(x) はヘヴィサイドの階段関数である。微分法も参照。

複素符号関数

定義域が複素数であり、正数に対して1を、負数に対して-1を、ゼロに対して0を返す csgn(x) を定義できる 。この関数は複素符号関数と呼ばれることがある。

\operatorname{csgn}(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

複素数の大小は以下のように解釈する。


\begin{cases}
 x>0 \iff \operatorname{Re}(x) > 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) > 0) \\
 x<0 \iff \operatorname{Re}(x) < 0 \vee (\operatorname{Re}(x) = 0 \land \operatorname{Im}(x) < 0) \\
\end{cases}

符号付き数の算術演算

加算と減算

数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。

従って、加算減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上(親や祖父母など)、正数は未来や年下(子供や孫など)であると考えることもできる。

負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。

Number-line.gif
9 − 5 = 4
(9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。)
7 − (−2) = 9
(7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。)
−4 + 12 = 8
(4歳年上の人物から12歳年下の人物は、自分の8歳年下である。)
5 + (−3) = 5 − 3 = 2
(¥5を持っていて¥3を借りたら、純資産は¥2である)
–2 + (−5) = −2 − 5 = −7

減算と負符号の概念の混乱を避けるため、負符号を上付きで書く場合もある(ただし、会計では負符号を△で表現する)。

2 + 5 = 2 − 5 = 7
△2 + △5 = △2 − 5 = △7

正数をより小さな正数から減ずると、結果は負となる。

4 − 6 = −2
(¥4を持っていて¥6を使ったら、負債¥2が残る)

正数を任意の負数から引くと、結果は負となる。

−3 − 6 = −9
(負債が¥3あってさらに¥6を使ったら、負債は¥9となる)

負数を減ずることは、対応する正数を加えることと等価である。

5 − (−2) = 5 + 2 = 7
(純資産¥5を持っていて負債を¥2減らしたら、新たな純資産は¥7となる)

別の例

−8 − (−3) = −5
(負債が¥8あって負債を¥3減らしたら、まだ¥5の負債が残る)

乗算

負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。 [1]

(−20) × 3 = −60

(負債¥20を3倍にすれば、負債¥60になる。)

(−40) × (−2) = 80

(後方へ毎時40km進む車は、2時間前には現在地から前方へ80kmの位置にいた。)

これを理解する方法の1つは、正数による乗算を、加算の繰り返しと見なすことである。3 × 2 は各グループが2を含む3つのグループと考える。したがって、3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 であり、当然 −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 である。

負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。

3 × −2 = (−2) + (−2) + (−2) = −6

これは乗算の交換法則を満たすことに注意

3 × −2 = −2 × 3 = −6

「負数による乗算」と同じ解釈を負数に対しても適用すれば、以下のようになる。

−4 × −3  =   − (−4) − (−4) − (−4)
=  4 + 4 + 4
=  12

しかし形式的な視点からは、2つの負数の乗算は、積の和に対する分配法則によって直接得られる。

−1 × −1  =  (−1) × (−1) + (−2) + 2
=  (−1) × (−1) + (−1) × 2 + 2
=  (−1) × (−1 + 2) + 2
=  (−1) × 1 + 2
=  (−1) + 2
=  1

除算

除算も乗算と同じく、負数で割ることは、正負の方向を逆転させることになる。負数を正数で割ると、商は負数のままとなる。しかし、負数を負数で割ると、商は正数となる。

被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。

(−90) ÷ 3 = −30

(負債¥90を3人で分けると、負債¥30ずつ継承される。)

24 ÷ (−4) = −6

(東を正数、西を負数とする場合:4時間後に東へ24km地点に進む車は、4時間前には西へ6kmの位置にいる。)

両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。

(−12) ÷ (−3) = 4

累乗

累乗乗算除算と同じく、指数を正数にすると、「n乗」に倍増される。しかし、指数を負数にすると、「1 / n乗」に分割される。つまり、指数 n を正数にすると「n 回乗算を繰り返す」ことになるが、指数 n を負数にすると「n 回除算を繰り返す」ことになる。

33 = 27

(×3 ×3 ×3 = 27)

3−3 = 1/27

(÷3 ÷3 ÷3 = 1/27)

360 × 23 = 2880

(360 ×2 ×2 ×2 = 2880)

360 × 2−3 = 45

(360 ÷2 ÷2 ÷2 = 45)

負の整数と負でない整数の形式的な構成

有理数の場合と同様、整数を自然数の順序対 (a, b) (これは整数 ab を表していると考えることができる)を下に述べるようにして同一視したものとして定義することによって自然数の集合N整数の集合Zに拡張できる。これらの順序対に対する加法と乗法の拡張は以下の規則による。

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (a × c + b × d, a × d + b × c)

ここで以下の規則により、これらの順序対に同値関係 ~ を定義する。

(a, b) ~ (c, d) となるのは a + d = b + c なる場合、およびこの場合に限る

この同値関係は上記の加法と乗法の定義と矛盾せず、ZN2の ~ による商集合として定義できる。すなわち2つの順序対 (a, b) と (c, d) が上記の意味で同値であるとき同一視する。

さらに以下の通り全順序Zに定義できる。

(a, b) ≤ (c, d) となるのは a + db + c となる場合、およびこの場合に限る

これにより加法の零元が (a, a) の形式で、(a, b) の加法の逆元が (b, a) の形式で、乗法の単位元が (a + 1, a) の形式で導かれ、減法の定義が以下のように導かれる。

(a, b) − (c, d) = (a + d, b + c).

負の数の起源

長い間、問題に対する負の解は「誤り」であると考えられていた。これは、負数を実世界で見付けることができなかったためである(例えば、負数のリンゴを持つことはできない)。その抽象概念は早ければ紀元前100年紀元前50年には認識されていた。中国の『九章算術』には図の面積を求める方法が含まれている。赤い算木で正の係数を、黒い算木で負の係数を示し、負の数がかかわる連立方程式を解くことができた。紀元後7世紀ごろに書かれた古代インドの『バクシャーリー写本[2]は"+"を負符号として使い、負の数による計算を行っていた。これらが現在知られている最古の負の数の使用である。

プトレマイオス朝エジプトではディオファントス3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。

7世紀の間に、負数はインドで負債を表すために使われていた。インドの数学者ブラーマグプタは『ブラーフマスプタ・シッダーンタ』(628年)において、今日も使われている一般化された形式の解の公式を作るために、負数を使うことについて論じている。彼は二次方程式の負の解を発見し、負数とが関わる演算に関する規則も与えている。彼は正数を「財産」、零を「0 (cipher)」、負の数を「借金」と呼んだ[3][4]12世紀のインドで、バースカラ2世も二次方程式に負の根を与えていたが、問題の文脈では不適切なものとして負の根を拒絶している。

8世紀以降、イスラム世界ブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。

負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。

しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。

イギリスの数学者フランシス・マセレス[2]1759年、負数は存在しないという結論に達した[5]

負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった[6]。負数が無限大より大きいという論拠は、\frac{1}{x} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。

関連項目

脚注と参考文献

  1. ^ 「相対論の式を導いてみよう、そして、人に話そう」小笠英志 ベレ出版 ISBN-13: 978-4860642679 の PP.121-127にマイナス×マイナスがプラスになることの小学生も納得できる説明が書いてある。
  2. ^ Hayashi, Takao (2005), "Indian Mathematics", in Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360-375, ISBN 978-1-4051-3251-0.
  3. ^ Colva Roney-Dougal, Lecturer in Pure Mathematics at the University of St Andrews, stated this on the BBC Radio 4 "In Our Time", on Negative Numbers, 9 March 2006.
  4. ^ Knowledge Transfer and Perceptions of the Passage of Time, ICEE-2002 Keynote Address by Colin Adamson-Macedo. [1]
  5. ^ Maseres, Francis, 1731–1824. A dissertation on the use of the negative sign in algebra, 1758.
  6. ^ Alberto A. Martinez, Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton University Press, 2006; おもに1600年代から1900年代前半にかけての、負数に関する論争の歴史。

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