行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/21 13:52 UTC 版)
「実二次正方行列」も参照 複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R2 上での一次変換の表現行列を考えることができる。 対応 a + b i ↔ ( a − b b a ) ( a , b ∈ R ) {\displaystyle a+bi\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\quad (a,b\in \mathbb {R} )} により、複素数は実二次正方行列で表現することができる。特に、実数単位 1, 虚数単位 i は 1 ↔ ( 1 0 0 1 ) , i ↔ ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle 1\leftrightarrow {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}} である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の行列の和（英語版）および行列の積に対応する。複素共役は行列の転置に対応している。 極形式表示を a + bi = r(cos θ + i sin θ) とすると、 ( a − b b a ) = ( r cos θ − r sin θ r sin θ r cos θ ) = r ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\,{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}} は角度 θ の回転行列のスカラー r 倍であり、これは複素数の積が R2 上で原点を中心とする相似拡大（英語版）と回転の合成を引き起こすことに対応する。 複素数 z = a + bi の表現行列を A とすると、A の行列式 det A = a2 + b2 = |z|2 は対応する複素数の絶対値の平方である。 複素数のこの行列表現はよく用いられる標準的なものだが、虚数単位 i に対応する行列 ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}})} を例えば ( 1 1 − 2 − 1 ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}1&1\\-2&-1\end{smallmatrix}})} に置き換えても、平方が単位行列の −1 倍であり、複素数の別の行列表現が無数に考えられる（後述、また実二次正方行列の項も参照）。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:35 UTC 版)
詳細は「行列の乗法」を参照 ふたつのベクトル u, v の外積 u ⊗ v は、u を m × 1 列ベクトル、v を n × 1 列ベクトル（従って v⊤ は行ベクトル）としたときの行列の積 uv⊤ に等価である。成分を用いて u = ( u 1 , u 2 , … , u m ) , v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m}),\quad {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{n})} と書けば、外積 u ⊗ v は m × n 行列 A で各成分は u の各成分と v の各成分の積であたえられ、 u ⊗ v = A = ( u 1 v 1 u 1 v 2 … u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 … u 2 v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u m v 1 u m v 2 … u m v n ) . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{pmatrix}}.} と表される。 複素ベクトルの場合には、これを少し変えて、v の転置の代わりに共軛転置 v∗ を用い、 u ⊗ v = u v ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}}^{*}} とする。つまり得られる行列 A は u の各成分と v の各成分の複素共軛との積を成分とするものになる。 内積との対比 m = n のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（1 × 1 行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）⟨u, v⟩ = u⊤v である。内積は外積のトレースに等しい。 行列としての階数 u, v がともに非零ならば、外積 uv⊤ の行列としての階数は常に 1 である。このことを見るにはベクトル x に掛けて (uv⊤)x = u(v⊤x) とすればよい。これはベクトル u のスカラー v⊤x-倍に他ならない。 （"行列の階数" をテンソルの階数 ("order" / "degree") と混同してはならない）。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/15 05:35 UTC 版)
複素数の行列表現と全く同様に、四元数も行列で表現することができる。四元数を行列で表現し、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 複素 2次正方行列を用いるもの、もう一つは実 4次正方行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の観点からは、H からそれぞれ全行列環 M2(C) および M4(R) への単射環準同型である。 複素 2次正方行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は ( a + b i c + d i − c + d i a − b i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}} と表現される。この表現は以下の性質を持つ： 複素数 (c = d = 0) は対角行列に対応する。 四元数のノルム（複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根）は対応する行列の行列式の平方根に一致する。 四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。 単位四元数に制限すれば、この表現は S3 と SU(2) との間の同型を与える。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である（パウリ行列を参照）。 実 4次正方行列を用いれば、同じ四元数は ( a b c d − b a − d c − c d a − b − d − c b a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}}} = a ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) + b ( 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ) + c ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ) + d ( 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 ) {\displaystyle =a{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}} で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の転置に対応する。また、四元数のノルムの四乗は対応する行列の行列式に等しい。複素数は、行列を 2 × 2 のブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/05 20:22 UTC 版)
V, W の基底をそれぞれとり、線型写像 f が行列 A で表現されているとき、W*, V* の基底は双対基底をとれば、転置写像 tf は 転置行列 tA で表現される（ゆえにこの名がある）。別な言い方として、f が列ベクトルに左から作用する行列 A で表現されるとき、転置 tf は行ベクトルに右から作用する同じ行列 A で表現される。これら二つの観点は、Rn の標準内積によって、列ベクトル空間を行ベクトル空間の双対と同一視すれば同じことを言っている。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 14:19 UTC 版)
分解型複素数は行列を用いて簡単に表示できる。分解型複素数 z = x + jy は、対応 z ↦ ( x y y x ) {\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}} により行列で表示できる。分解型複素数の加法と乗法は行列の加法と乗法によって与えられる。z の絶対値は対応する行列の行列式の値として得られる。分解型複素共軛は両側から次の行列 C = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} を掛けることに対応する。任意の実数 a に対し、双曲角 a の双曲的回転は行列 ( cosh a sinh a sinh a cosh a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}} を掛けることに対応する。分解型複素平面の対角基底は、z = x + jy を順序対 (x, y) で表し、写像 ( u , v ) = ( x , y ) ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} を作ることによって想起される。すると二次形式は uv = (x + y)(x − y) = x2 − y2 で得られる。さらに ( cosh a , sinh a ) ( 1 1 1 − 1 ) = ( e a , e − a ) {\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(e^{a},e^{-a})} だから、2つのパラメータ付けられた（英語版）双曲線は互いに他方へ写される。ベルソル ebj の作用は従って線型変換 ( u , v ) ↦ ( r u , v / r ) ( r = e b ) {\displaystyle (u,v)\mapsto (ru,v/r)\qquad (r=e^{b})} のもとで縮小写像に対応する。 この対応は A = B = ℝ1,1 および C = D = ℝ2 とし、f を双曲ベルソルの作用、g, h を行列による線型変換、k を縮小写像とするとき可換図式 を満足する。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/10 05:38 UTC 版)
「離散フーリエ変換 (一般)」の記事における「行列表現」の解説
離散フーリエ変換は線形写像であるから、行列積で表現できる。行列表現では、離散フーリエ変換は以下のように書ける。 [ f 0 f 1 ⋮ f n − 1 ] = [ 1 1 1 ⋯ 1 1 α α 2 ⋯ α n − 1 1 α 2 α 4 ⋯ α 2 ( n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 α n − 1 α 2 ( n − 1 ) ⋯ α ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] [ v 0 v 1 ⋮ v n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{0}\\f_{1}\\\vdots \\f_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha &\alpha ^{2}&\cdots &\alpha ^{n-1}\\1&\alpha ^{2}&\alpha ^{4}&\cdots &\alpha ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha ^{n-1}&\alpha ^{2(n-1)}&\cdots &\alpha ^{(n-1)(n-1)}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{bmatrix}}} この行列は、DFT行列と呼ばれる。 同様に、逆離散フーリエ変換は [ v 0 v 1 ⋮ v n − 1 ] = 1 n [ 1 1 1 ⋯ 1 1 α − 1 α − 2 ⋯ α − ( n − 1 ) 1 α − 2 α − 4 ⋯ α − 2 ( n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 α − ( n − 1 ) α − 2 ( n − 1 ) ⋯ α − ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] [ f 0 f 1 ⋮ f n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha ^{-1}&\alpha ^{-2}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)}\\1&\alpha ^{-2}&\alpha ^{-4}&\cdots &\alpha ^{-2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha ^{-(n-1)}&\alpha ^{-2(n-1)}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{0}\\f_{1}\\\vdots \\f_{n-1}\end{bmatrix}}} と表せる。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 14:48 UTC 版)
アフィン群を V の GL(V) による半直積として表現すれば、半直積の構成にしたがって、各元は GL(V) に属する行列 M と V に属するベクトル v の組 (M, v) で表され、乗法は ( M , v ) ⋅ ( N , w ) = ( M N , v + M w ) {\displaystyle (M,v)\cdot (N,w)=(MN,v+Mw)} で与えられる。この乗法は、(n + 1)×(n + 1) のブロック行列として ( M v 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)} の形に書くことができる。ここで各ブロックを成す行列は、M が K 上の n-次正方行列、v は n-成分列ベクトル、0 は n-成分零行ベクトル、1 は 1-次単位行列である。 厳密に言えば、V を V ⊕ K にアフィン平面 { (v, 1) | v ∈ V } として埋め込むとき、Aff(V) はこの平面を保つ変換全体からなる GL(V ⊕ K) の部分群に自然に同型で、このような実現により上記の行列表現が得られる。特に、行列の n-次正方ブロックと 1-次正方ブロックは直和分解 V ⊕ K に対応している。 相似な表現として、どの列も成分の和が 1 に等しい (n + 1)×(n + 1) 行列で表すこともできる。さきほどの表現からこの種の表現を得るには、変換行列 P として (n + 1)-次単位行列の一番下の行をすべて 1 に取り替えたものをとって相似変換すればよい。 これら二種類のブロック行列はそれぞれ通常の行列の乗法について閉じている。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 10:00 UTC 版)
適当なベクトル方向への射影は射影行列として表現することができる。単位ベクトル a := (ax, ay, az) への射影は行列 P a := a a ⊤ = ( a x a y a z ) ( a x a y a z ) = ( a x 2 a x a y a x a z a x a y a y 2 a y a z a x a z a y a z a z 2 ) {\displaystyle P_{a}:=aa^{\top }={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}} を掛ければよい。
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行列表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:32 UTC 版)
平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系（英語版）を用いた回避方法によって一般に行われる。 例えば三次元の場合において、ベクトル w = (wx, wy, wz) は四成分の斉次座標 w = (wx, wy, wz, 1)で表せる。 各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル p を、定ベクトル v だけ平行移動させるには、平行移動行列 T v = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果 T v p = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) ( p x p y p z 1 ) = ( p x + v x p y + v y p z + v z 1 ) = p + v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} } は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、 T v − 1 = T − v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }} で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動 T u T v = T u + v {\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }} になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。
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