表現行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:18 UTC 版)
表現空間を明示したいときは組 (V, T) で表現を表す。表現空間 V の次元 n を表現の次元という。表現空間 V に適当な基底を導入すれば、T(g) は具体的に n 次正方行列で書き表せるから、群 G の表現とは「Gから正則行列の成す群 GLn への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 T(g) を g の表現行列と呼ぶ。 つまり群 G に対応して行列の集合 Γ = { T ( g ) ∣ g ∈ G } {\displaystyle \Gamma =\{\,T(g)\mid g\in G\,\}} があり、任意の群の元 g, h に対して T(gh) = T(g)T(h) が成り立つとき、これらの行列を群 G の表現行列という。
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表現行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:54 UTC 版)
有限次元ベクトル空間 V の基底 E = {e1, …, en} をひとつ固定する。このとき V 上の双線型形式 b に対して n 次正方行列 B = (bij) を b i j = b ( e i , e j ) {\displaystyle b_{ij}=b(e_{i},e_{j})} で定義する。これを双線型形式 b の基底 E に関する表現行列という。表現行列 B は、双線型形式 b が対称であるとき、かつそのときに限り対称行列である。ベクトル u = ∑ ni = 1 ui ei, v = ∑ nj = 1 vj ej ∈ V に対して値 b(u, v) は表現行列 B を用いて b ( u , v ) = [ u 1 , … , u n ] B [ v 1 ⋮ v n ] {\displaystyle b(u,v)=[u_{1},\dotsc ,u_{n}]B{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}} と表される。逆に（対称）行列 B が与えられると（対称）双線型形式 b が上の関係式から定まる。 新たな基底 E′ = {e′1, …, e′n} をとり、基底の変換行列 S = (sij) が e′j = ∑ ni = 1 sij ei で与えられているとする。このとき、 双線型形式 b の基底 E′ に関する表現行列 B′ は B ′ = S ⊤ B S {\displaystyle B'=S^{\top }\!BS} で与えられる。
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