双対基底

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双対基底

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/15 10:14 UTC 版)

数学の線型代数学において、体 F 上のベクトル空間 V とその基底 B = {v_i}_{i ∈ I} が与えられたとき、その双対集合（そうついしゅうごう、英: dual set）とは、（代数的）双対空間V* ≔ Hom_F(V, F) 内のベクトルの集合 B* = {vⁱ}_{i ∈ I} で、B と B* が二重直交系を構成するもののことを言う。これは δⁱ_j でクロネッカーのデルタを表すとき

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双対基底

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)

「特殊相対性理論」の記事における「双対基底」の解説

(V, η) を4次元ミンコフスキー空間とし、e→0, e→1, e→2, e→3 を (V, η) 上の（正規直交とは限らない）基底とする。このとき、以下の性質を満たす V の基底 e→0, e→1, e→2, e→3 が一意に存在する事が知られており、この基底を e→0, e→1, e→2, e→3 の双対基底という： 任意の μ, ν = 0, ..., 3 に対し、 η ( e → μ , e → ν ) = δ μ ν . ここで δ μ ν はクロネッカーのデルタである。 正規直交基底の場合は双対基底は非常に簡単に書くことができる： ( e → 0 , e → 1 , e → 2 , e → 3 ) = ( e → 0 , − e → 1 , − e → 2 , − e → 3 ) . 上でも分かるように、双対基底は元の基底と空間方向の向きが反対である。 本項では正規直交の場合にしか双対基底の概念を用いないが、一般相対性理論を定式化する際には一般の基底に対する相対基底が必要となる為、以下基底は正規直交とは限らない場合について述べる。 双対基底はミンコフスキー計量の成分表示を使って具体的に求めることができる。 η μ ν = η ( e → μ , e → ν ) とするとき、(ημν)μν の逆行列を ((η−1)μν)μν とすれば、 e → μ = ( η − 1 ) μ ξ e → ξ である。実際、 η ( e → μ , e → ν ) = ( η − 1 ) μ ξ η ( e → ξ , e → ν ) = ( η − 1 ) μ ξ η ξ ν = δ μ ν である。 双対基底の定義から、次が成立する： e→0, e→1, e→2, e→3 の双対基底の双対基底は e→0, e→1, e→2, e→3 自身である。 以下の議論では、「通常の」基底 e→0, e→1, e→2, e→3 を一組固定し、e→0, e→1, e→2, e→3 をその双対基底とする。しかし上の定理でもわかるように、どちらの基底を「通常の」基底とみなし、どちらを双対基底とみなすのかは任意である。本項では、空間方向が右手系のものを通常の基底とみなし、左手系のものをその双対基底とみなすことにする。