ポアンカレ・ベンディクソンの定理
ポアンカレ・ベンディクソンの定理によれば、平面上の
極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道のいずれかとなる
ポアンカレ・ベンディクソンの定理（ポアンカレ・ベンディクソンのていり、Poincaré–Bendixsonの定理）とは、平面上の連続力学系あるいは自励的常微分方程式系では、有界な軌道が時間経過後に最終的に落ち着く先は、平衡点を含まなければ周期軌道であることを述べる数学の定理である。19世紀末にアンリ・ポアンカレが発表し、後の20世紀初頭にイーヴァル・オット・ベンディクソン（英語版）がより厳密・一般化した形で証明して発表した。
与えられた系の周期軌道の存在を明確にすることは一般的に難しいが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理はその手法を与える希少なものの一つである。また、定理の帰結として、このような平面の系で状態変数が収束する先は、本質的に平面上の1点（平衡点）または閉曲線（周期軌道）のいずれかに限られ、より複雑な振る舞いはないことを意味する。極限集合の概念を使うと、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道の3種に限られることが言える。ただし、定理が成立する根本的理由の一つが、平面上ではジョルダンの閉曲線定理が成立し、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあるので、トーラスや3次元の系で定理は成立しない。
前提とする主な定義
独立変数を t ∈ ℝ とし、従属変数を x = (x, y)T ∈ M ⊂ ℝ2 とする。未知関数 x(t) = (x(t), y(t))T に対して次のような一般的な自励的2元連立1階常微分方程式系を考える。
平面上のベクトル場の例。軌道は平面上でベクトルに沿った曲線を成す。
初期値 x0 を決めて、t を −∞ から ∞ まで動かしながら ϕ(t, x0) が返す値を相空間 M 上に描くと、それは M 上の一つの曲線となる。この曲線を x0 を通る軌道という。 x0 を通る軌道を O(x0) で表すとする。微分方程式の解の一意性により、ある x0 を通る O(x0) はただ一つだけに限られる。特に t が非負のときの軌道
周期軌道（
リミットサイクル）とそれを極限集合とする点
x0 の例。時刻の列
t1, t2, … → ∞ で極限集合上の
ω極限点
y に収束する。
時間が無限大に発散するときの軌道 O(x0) の漸近的な振る舞いを調べるために、x0 の極限集合が重要となる。ある点 x0 ∈ M に対して時刻 t の列 t1, t2, … → ∞ を一つ適当に選ぶと
同じ2次元多様体でも相空間が図のようにトーラスだとポアンカレ・ベンディクソンの定理は成立しない
ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、相空間が平面、球面、円筒である流れ（ベクトル場）では成立するが、同じ2次元多様体でも トーラス 𝕋2 のような種数が正の曲面では成立しない。また、相空間が3次元以上でも成立しない。2次元ベクトル場が非自励系で与えられるときにも、実質的に相空間は3次元なので成立しない。定理が成立する根本的な理由は、ジョルダンの閉曲線定理として知られる、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあり[30]、トーラスや3次元の相空間ではこれが成立しないため、ポアンカレ・ベンディクソンの定理もまた成立しない。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の主張を直感的に言い換えると、次のようにも説明できる。平面上の限られた領域内に軌道があって、軌道はそこから出て行かないとする。もし軌道が1点（平衡点）に落ち着かないとすると、軌道はその領域内を永久に動き続けなければならない。軌道の曲線が自己交差をせず、なおかつ滑らかであるような条件下において、平面上でそのようなことが可能なのは軌道が閉曲線（周期軌道）に落ち着く場合だけというのがポアンカレ・ベンディクソンの定理である。
もう一つポアンカレ・ベンディクソンの定理と呼ばれる別の形として、あるいは上の定理から導くことができる別の定理として、次の主張がある。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理（別形） ― 有限個の平衡点しか持たない（平衡点が孤立している）平面 ℝ2 上の C1 級ベクトル場 f について、ある点 x ∈ ℝ2 の正の半軌道 O+(x) が有界のとき、x のω極限集合 ω(x) は以下のいずれかである。
- ω(x) は単一の平衡点
- ω(x) は周期軌道
- ω(x) は有限個の平衡点 p とそれらを繋ぐ軌道 γ から成る閉曲線で、軌道上の点 u ∈ γ は ω(u) = p および α(u) = p を満たす。
平衡点が有限個しか存在しないという仮定は平面上の理論を構成する上で必ずしも必要ではないが、議論を簡単にするために導入される。例えば ·x = 0, ·y = −y という系は、平衡点が y = 0 の直線上の全ての点として存在する。しかし、大抵の場合で扱われる微分方程式は平衡点が有限という条件を満たす。
定理の3番目の極限集合には、ヘテロクリニック軌道やホモクリニック軌道が相当する。大雑把に言うと、ヘテロクリニック軌道とはある2つの平衡点 a, b を繋ぐ曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ で b に収束する性質を持つ。ホモクリニック軌道とは1つの平衡点 a から出て a に戻る曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ でも a に収束する性質を持つ。
証明の概略
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明は、平面の特性を活かして幾何学的なアプローチでなされる。以下では、主に (坂井 2015) に沿いながらおおまかな証明の概略を記す。
まず、平面に限らない ℝn 上の自励系ベクトル場で一般的に成り立つ極限集合の性質として以下のものがあり、これらはポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明にも使われる：
- ω(x) は不変集合
- ω(x) は閉集合
- O+(x) が有界ならば ω(x) は空集合ではない
- O+(x) が有界ならば ω(x) は連結集合
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明上の道具として、ポアンカレ写像の考え方が役立つ[30]。定理の仮定のもとで、平面上の非平衡点 η ∈ ℝ2 に対して、η を通る直線 l を平面上に引く。η の近傍 U を取って、l との共通部分 U ∩ l でできる線分を Σ とする。このとき、Σ 上の任意の点も非平衡点であるようにでき、さらに、Σ を通る任意の軌道は Σ に接することなく Σ を通り過ぎるようにできる。このような Σ は横断線や切断線と呼ばれる（Σ は弧でもよく、その場合は横断弧などと呼ばれる）。また、U に含まれる η の近傍 V ⊂ U を十分小さくとれば、V 上の任意の点から出発する軌道はある有限時間後に Σ を通過するようにできる。
次に、ある点 x の極限集合 ω(x) を考える。ω(x) は定理の仮定のように平衡点を含まないとし、その上のある非平衡点 η ∈ ω(x) について上のような横断線 Σ を引く。また、x から出発する軌道 O+(x) がもし周期軌道ならば、O+(x) = ω(x) となり、明らかに定理が成り立つ。よって以下では O+(x) は周期軌道ではないとする。
線分
ζ1ζ2 と
γ で閉曲線が構成され、この閉曲線の外側
Go と内側
Gi に平面は二分される。線分
ζ1ζ2 を通過する軌道は
Gi から
Go へ向かうか、
Go から
Gi へ向かうかのいずれかとなる。図は
Gi から
Go へ向かうパターンを示す。
この η は極限点なので、その定義より η に収束する無限点列が選び出せる。よって、O+(x) は U を無限回通過し、Σ を通過した後には再び U に戻って来て Σ を通過しなければならない。O+(x) が Σ を通過するときの1つの交点を ζ1 とし、次に Σ を通過する交点を ζ2 とする。このとき、平面上には線分 ζ1ζ2 と O+(x) に沿って ζ1 から ζ2 まで引かれる弧 γ で構成される閉曲線ができる。この閉曲線を Γ とする。ジョルダンの閉曲線定理からℝ2 は Γ の内側の領域 Gi と Γ の外側の領域 Go に分けられる。上述のように、この定理が平面では成立するという点が、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の成立の本質的理由といえる[30]。
Σ の性質より、線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は全て Gi から Go へ向かうか、全て Go から Gi へ向かうかのどちらかとなる。また、微分方程式の解の一意性から γ を横切る軌道は存在しない。どちらの場合でも同じように議論できるが、以下では線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は Go から Gi へ向かうとする。すると、全ての t > 0 について ϕ(t, ζ2) ∈ Gi である。よって、ζ2 の次に O+(x) が Σ に交わる交点を ζ3 とすれば、ζ3 は ζ2 を境にしてζ1 の反対側に存在する。一般化すると、これは tn−1 < tn < tn+1 であれば、Σ 上で ϕ(tn, x) は常に ϕ(tn−1, x) と ϕ(tn+1, x) の間にあることを意味し、このことを点列が Σ に沿って単調と言ったり、単調点列で Σ に交わると言ったりする。この単調点列の結論として、一般的に ω(x) と Σ との交点は η ∈ ω(x) のみであることが補題として証明される。主張の逆を取って η1 ≠ η2 かつ η1, η2 ∈ ω(x) という2点の存在を仮定すると、単調点列との矛盾が導かれ、背理法により主張が正しいことが確かめられる。
次に、ω(x) 上の任意の点 η の極限集合 ω(η) が ω(x)と一致することを証明する。これも背理法で考える。主張の逆が成立すると、差集合 ω(x) ∖ ω(η) が存在することになる。この前提と、極限集合は閉で有界な軌道の極限集合は連結である性質を利用して議論すると、ω(x) 上のある点で横断線と複数交わるという、上記の補題と矛盾した結論が得られる。
最後に、η から出発する軌道 O+(η) が周期軌道であることを証明する。η ∈ ω(x) = ω(η) であるので、O+(η) はある無限点列 で η 自身に収束する。η の近傍 V に含まれる点列上の1点 ϕ(tk, η) をとると、ある時間 τk 経過後に Σ を通過する。よって、ϕ(tk + τk, η) が Σ と交わるわけだが、極限集合は不変であるという性質から ϕ(tk + τk, η) は O+(η) 上の点であると同時に ω(x) の上の点でもある。上記の補題より Σ 上でω(x) と交わるのは1点でなければならないので、ϕ(tk + τk, η) = η が満たされるので、O(η) は tk + τk を周期とする周期軌道である。よって O(η) = ω(η) = ω(x) は周期軌道である。（証明終わり）
適用
平面上の自励系常微分方程式系ないし連続力学系を解析するための強力な道具となるのが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理である。定理は、相空間が平面の場合に解ないし軌道が極限的に落ち着く先は、本質的に平衡点か周期軌道に限定されることを意味する。しかし一般的に、平衡点を見つけることに比べ、周期軌道を見つけることは難しい。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、与えられた系に周期軌道の存在することを示すことができる数少ない手法の一つである。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理を使いやすく言い換えると、有界閉な領域 K 内に任意の軌道 O+(x), x ∈ K が閉じ込められる（領域が正不変である）とき、K 内に平衡点が存在しなければ、K 内には周期軌道が存在する、という系が成り立つ。さらに言うと、このような K 内の軌道は、それ自体が周期軌道であるか、リミットサイクルに収束する軌道であるか、どちらかになる。また、もう一つの重要な系は、ある周期軌道で囲まれた領域の内部には平衡点が少なくとも1つ含まれることである。
例示の微分方程式系のベクトル場。青い範囲の境界上では任意のベクトルが内向きまたは境界に接する。色付きの曲線は軌道で、周期軌道（黒い太線）に巻きつく。
具体的な系にポアンカレ・ベンディクソンの定理を適用するには、境界上のどの点でもベクトルが内側向きとなっている領域を平面上でうまく構成（特定）する必要がある。領域に内部にある平衡点も領域から適当にくりぬく必要がある。(千葉 2021) による適用の具体例として以下のような微分方程式系がある。
