Particle in a box

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井戸型ポテンシャル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/02 15:21 UTC 版)

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井戸型ポテンシャル（いどがたポテンシャル）とは、量子力学の初歩で扱う例題である。問題としては平易だが、得られる解は量子論の特徴をよく表しているので、多くの教科書・演習書に取り上げられている。

ある有界領域Dを定め、ポテンシャルVを

${\displaystyle V({\boldsymbol {x}})={\begin{cases}V_{0}&({\boldsymbol {x}}\in D)\\V'({\boldsymbol {x}})&({\boldsymbol {x}}\not \in D)\end{cases}}}$

ポテンシャルは「井戸の中」では0であり、外では無限大である

現実的には、ポテンシャルは無限大にはなり得ないので、粗い近似ではあるが、量子論の基礎を理解する上で大きな影響はない。

解法

この時、領域外ではポテンシャルが無限大となるため、粒子の存在確率も0となると考える。従って、境界条件としてψ(0)=ψ(L)=0を課す。この下で、領域D内において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x)}$ この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。