Cantor set

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カントール集合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/05 10:15 UTC 版)

カントール集合（カントールしゅうごう、英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され^{[1][注釈 1][4][5]}、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された^[6][7]:65。

カントールの三進集合とも呼ばれ^[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される^[9]。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた^[10]。

カントール集合のような模様がついた柱頭。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard (1809-1828), Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale  よりフィラエ島の彫刻

歴史的注意

カントール自身は、カントール集合を一般の抽象的手法によって定義し、三進構成は至る所疎な完全集合というより一般の概念の一例として述べたに過ぎない。原論文ではこの抽象概念の様々に異なる構成が提示されている。

この集合はカントールがそれを発案したときには既に抽象的なものと考えられていた。カントール自身は、三角級数が収束しない点全体の成す集合という実際上の懸案からカントール集合を導き出した。この発見は、カントールを無限集合に関する抽象的一般論の発展へと駆り立てるものであった。

フィラエ島にある古代エジプトの建物の柱頭にはカントール集合に似た模様が付けられている。カントールのいとこはエジプト学者であったから、カントールもそれを見ている可能性はある^[11]。

構成

カントール集合は、幾何学的には、線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、再帰的に繰り返すことで作られる集合である。ここで、取り除く線分は開区間である。すなわち、単位区間I = [0, 1] から、1回目の操作では (1/3, 2/3) を取り除き、2回目の操作では (1/9, 2/9) と (7/9, 8/9) を取り除き……といった具合に操作を無限に繰り返し、残った部分集合がカントール集合である^[12]。

上から下に3等分した真中を抜くという操作を繰り返す。その極限がカントール集合である。上図は操作を6回繰り返した状態までを示す。

最初の集合を C₀ = I, 1回目操作後の集合を C₁, 2回目操作後の集合を C₂, ……とし、n 回目操作後の集合を C_n としたとき、和集合の形式では各集合は以下のように表せる。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=\left[0,1\right]\\C_{1}&=\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]\\C_{2}&=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]\\&\vdots \\C_{n}&=\left[0,{\frac {1}{3^{n}}}\right]\cup \dots \cup \left[{\frac {3^{n}-1}{3^{n}}},1\right]\end{aligned}}}$

カントールの立方体（英語版）が再帰的にカントールの塵になっていく過程

カントールの塵は、カントール集合の有限個のコピーの直積集合として得られる、カントール集合の高次元版で、それ自身はカントール空間を成す。カントール集合と同様に、カントールの塵は測度 0 である^[27]:46。

二次元のカントールの塵

三次元のカントールの塵

これと異なるカントール集合の二次元版としてシェルピンスキーのカーペットは、正方形を九つの小正方形に分割し、中央の一つを取り除くものである。もちろん、取り残った正方形もさらに九分割して真ん中を取り除き、さらにそのような操作を無限に繰り返す^[28]。これの三次元版がメンガーのスポンジである^[29]。

注

注釈

1. ^ 「カントール集合」は Paul du Bois-Reymond (1831–1889) も発見している^{[2](footnote on p. 128)}。Vito Volterra (1860–1940) もまた「カントール集合」を発見している^[3]

出典

1. ^ Smith, Henry J.S. (1874). “On the integration of discontinuous functions.”. Proceedings of the London Mathematical Society. Series 1. 6: 140–153. .
2. ^ du Bois-Reymond, Paul (1880), “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung”, Mathematische Annalen 16: 115–128, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002245256 .
3. ^ Volterra, Vito (1881). “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue”. Giornale di Matematiche, 19: 76–86. .
4. ^ Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag. pp. 162–165 
5. ^ Stewart, Ian, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos .
6. ^ Cantor, Georg (1883), “Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V”, Mathematische Annalen 21: 545–591, http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002247461 .
7. ^ Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. (2004), Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (2nd ed.), N.Y.: Springer Verlag .
8. ^ ロバート・Ｌ・デバニー 著、上江洌達也・重本和泰・久保博嗣・田崎秀一 訳『カオス力学系の基礎』（新装版）ピアソン・エデュケーション、2007年、79頁。ISBN 978-4-89471-028-3。 
9. ^ アリグッドほか 2012, p. 166.
10. ^ B.マンデルブロ『フラクタル幾何学　上』広中平祐（監訳）（第一刷）、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2011年、157-161頁。ISBN 978-4-480-09356-1。 
11. ^ Lumpkin, Beatrice (1 January 1997). Geometry Activities from Many Cultures. Walch Publishing. p. 17. ISBN 978-0-8251-3285-8. https://books.google.com/books?id=Xpr_rBdY9PwC&pg=PA17. "Napoleon's Expedition brought this picture to Europe in their report, Description de L'Egypte. Notice the startling resemblance to the Cantor set diagram. ... Did George Cantor see pictures of the Egyptian columns before he conceived the set...? We don't known, but it is a possibility, because Cantor's cousin was a student of Egyptology." 
12. ^ 本田 2013, pp. 1–2.
13. ^ ^{a b} Mohsen Soltanifar (2006). “A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets”. American Journal of Undergraduate Research 5 (2): 9-10. 
14. ^ ^{a b} 本田 2013, p. 4.
15. ^ ^{a b} アリグッドほか 2012, p. 178.
16. ^ ^{a b} アリグッドほか 2012, p. 179.
17. ^ 本田 2013, p. 38.
18. ^ アリグッドほか 2012, p. 167.
19. ^ Krapivsky, P. L.; Ben-Naim, E. (1994). “Multiscaling in Stochastic Fractals”. Phys. Lett. A 196. 
20. ^ Hassan, M. K.; Rodgers, G. J. (1995). “Models of fragmentation and stochastic fractals”. Physics Letters A 208 95. 
21. ^ Soltanifar, Mohsen (2006). “On A Sequence of Cantor Fractals”. Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal (1, paper 9). 
22. ^ the Cantor set is an uncountable set with zero measure
23. ^ Schroeder, Manfred (1991), Fractals, Chaos, Power Laws, Dover 
24. ^ Krapivsky & Ben-Naim 1994, p. 168.
25. ^ Hassan & Rodgers 1995.
26. ^ Hassan, M. K.; Pavel, N. I.; Pandit, R. K.; Kurths, J. (2014), Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart, Chaos, Solitons & Fractals, 60, pp. 31-39 
27. ^ Helmberg, Gilbert (2007). Getting Acquainted With Fractals. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019092-2. https://books.google.co.jp/books?id=PbrlYO83Oq8C 
28. ^ Helmberg 2007, p. 48.
29. ^ 本田 2013, pp. 19–20.

参考文献

• 本田勝也、2013、『フラクタル』初版第8刷、朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門1〉 ISBN 978-4-254-11611-3
• K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、シュプリンガー・ジャパン（編）、津田一郎（監訳）、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏（訳）、2012、『カオス　第1巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4

関連項目

• アントワーヌの首飾り（英語版）
• カントール関数
• コッホ雪片
• ナスター–クラトフスキーの扇（英語版）
• モーザー–ドゥブラン列（英語版）

外部リンク

• 『カントール集合とその性質』 - 高校数学の美しい物語
• Barile, Margherita; Weisstein, Eric W. "Cantor Set". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Cantor Dust". mathworld.wolfram.com (英語).
• Cantor set - PlanetMath.（英語）
• Fedorchuk, V.V. (2001), “Cantor set”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Cantor_set 
• Cantor space in nLab
• Definition:Cantor Set at ProofWiki

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーのギャスケット アポロニウスのギャスケット コッホ曲線 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
カテゴリ

典拠管理データベース: 国立図書館	ドイツ

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「Cantor set」の例文・使い方・用例・文例

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• ポートランド岬 《イングランド南部, Dorsetshire 州にある岬》.
• ハーディーゆかりの地方 《英国 Dorset 州一帯をさす》.
• 『housetop（屋根）』は複合語である