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カントール分布の累積分布関数
カントール分布 (カントールぶんぷ、英 : Cantor distribution )とは、累積分布関数 がカントール関数 である確率分布 のことである。
この分布はルベーグ測度 に関して絶対連続 ではなく、どのような点質量も持たないため、確率密度関数 も確率質量関数 も存在しない。したがってこの分布は離散確率分布 でも絶対連続確率分布 でもなく、それらを組み合わせたものでもない。この分布はむしろ特異分布 の一例である。
この分布の累積分布関数は、しばしば「悪魔の階段 」と呼ばれる。しかしこの用語はより一般的な意味を持つものである。
特徴
カントール分布の台 はカントール集合 、つまり(可算個の)集合
C
0
=
[
0
,
1
]
C
1
=
[
0
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
1
]
C
2
=
[
0
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
1
]
C
3
=
[
0
,
1
27
]
∪
[
2
27
,
1
9
]
∪
[
2
9
,
7
27
]
∪
[
8
27
,
1
3
]
∪
[
2
3
,
19
27
]
∪
[
20
27
,
7
9
]
∪
[
8
9
,
25
27
]
∪
[
26
27
,
1
]
C
4
=
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},1]\\C_{2}=&[0,{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},1]\\C_{3}=&[0,{\tfrac {1}{27}}]\cup [{\tfrac {2}{27}},{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {7}{27}}]\cup [{\tfrac {8}{27}},{\tfrac {1}{3}}]\cup \\&[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {19}{27}}]\cup [{\tfrac {20}{27}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},{\tfrac {25}{27}}]\cup [{\tfrac {26}{27}},1]\\C_{4}=&\cdots \end{aligned}}}
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